Sıfırdan farklı her x gerçel sayısı için x \cdot f(x) + 2x \cdot f(-x) = x^3 - 6x\neşitliğini sağlayan f fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir. Buna göre, f(3) değeri kaçtır?

Sıfırdan farklı her x gerçel sayısı için x \cdot f(x) + 2x \cdot f(-x) = x^3 - 6x\neşitliğ… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sıfırdan farklı her

x

gerçel sayısı için

x \cdot f(x) + 2x \cdot f(-x) = x^3 - 6x

eşitliğini sağlayan

f

fonksiyonunun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir.

Buna göre, $f(3)$ değeri kaçtır?

Cevap: 1

Fonksiyonun ordinat eksenine göre simetrik olması çift fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu durumda her

x

gerçel sayısı için

f(-x) = f(x)

eşitliği sağlanır. Verilen denklemde

x = 3

yazıldığında

3 \cdot f(3) + 6 \cdot f(-3) = 3^3 - 6(3) \implies 3f(3) + 6f(-3) = 9

elde edilir. Çift fonksiyon özelliğinden dolayı

f(-3) = f(3)

yazılırsa

9f(3) = 9

ve buradan

f(3) = 1

bulunur.

Doğru cevap 1'dir. Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve

f(-x) = f(x)

eşitliğini sağlar. Denklemde

x = 3

yazılıp bu özellik kullanıldığında

9f(3) = 9

denklemi elde edilir ve buradan

f(3) = 1

bulunur.

Fonksiyonun simetri özelliğini belirleme

f(-x) = f(x)

Grafiği ordinat eksenine göre simetrik olan fonksiyonlar çift fonksiyondur ve tanım kümesindeki her

x

için

f(-x) = f(x)

özelliğini sağlar.

Verilen denklemde

x = 3

değerini yerine yazma

3 \cdot f(3) + 6 \cdot f(-3) = 9

İstenen

f(3)

değerine ulaşmak amacıyla denklemdeki

x

değişkenleri yerine

3

yazılır ve sağ taraf hesaplanır (

3^3 - 6 \cdot 3 = 27 - 18 = 9

Çift fonksiyon eşitliğini kullanarak denklemi çözme

f(3) = 1

f(-3) = f(3)

eşitliği denklemde yerine yaz��ldığında

3f(3) + 6f(3) = 9 \implies 9f(3) = 9

elde edilir. Her iki taraf

9

ile bölünerek sonuç bulunur.

Tek ve Çift Fonksiyonlar ve Simetrileri