Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi
Dik koordinat düzleminde,
f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11
parabolünün tepe noktası TfT_f olarak belirleniyor.
aa ve bb pozitif gerçel sayılar olmak üzere;
g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x - a) + b
h(x)=f(x+b)−ah(x) = f(x + b) - a
fonksiyonları tanımlanıyor.

g(x)g(x) parabolünün tepe noktası T1T_1, h(x)h(x) parabolünün tepe noktası T2T_2 olmak üzere, T1T_1 ile T2T_2 noktaları arasındaki uzaklık 626\sqrt{2} birimdir.

TfT_f, T1T_1 ve T2T_2 noktalarını köşe kabul eden üçgenin alanı 1212 birimkare olduğuna göre, a⋅ba \cdot b çarpımı kaçtır?

  1. A
    4
  2. 5Cevap
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    10

Cevap

Doğru cevap, a⋅ba \cdot b çarpım��nın değerinin 5 olduğunu belirten seçenektir.
Doğru cevap olan 5 değeri, parabolün orijinal tepe noktası Tf(3,2)T_f(3,2) referans alınarak öteleme kuralları uygulandığında bulunur. g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x-a)+b fonksiyonu T1(3+a,2+b)T_1(3+a, 2+b) noktasına, h(x)=f(x+b)−ah(x) = f(x+b)-a fonksiyonu ise T2(3−b,2−a)T_2(3-b, 2-a) noktasına ötelenir. İki nokta arasındaki uzaklıktan a+b=6a+b=6 ve bu noktaların oluşturduğu üçgenin alanından ∣b2−a2∣=24|b^2-a^2|=24 denklemleri elde edilir. Buradan ∣b−a∣=4|b-a|=4 bulunur. İki bilinmeyenli denklem sisteminin ortak çözümünden a⋅b=5a \cdot b = 5 sonucuna doğru bir şekilde ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−6x+11f(x) = x^2 - 6x + 11 parabolünün tepe noktasını bulalım.
r=−−62(1)=3r = -\frac{-6}{2(1)} = 3 ve k=f(3)=32−6(3)+11=2k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 11 = 2 olduğundan Tf(3,2)T_f(3, 2) elde edilir.
Ötelenen fonksiyonların tepe noktalarını belirlemek için öncelikle orijinal parabolün tepe noktasını bulmamız gerekir.
2
Yatay ve dikey öteleme kurallarını uygulayarak T1T_1 ve T2T_2 tepe noktalarının koordinatlarını aa ve bb cinsinden yazal��m.
g(x)=f(x−a)+bg(x) = f(x-a) + b fonksiyonunun grafiği, f(x)f(x) grafiğinin aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelenmesiyle elde edildiğinden T1(3+a,2+b)T_1(3+a, 2+b) olur. h(x)=f(x+b)−ah(x) = f(x+b) - a fonksiyonunun grafiği, f(x)f(x) grafiğinin bb birim sola ve aa birim aşağı ötelenmesiyle elde edildiğinden T2(3−b,2−a)T_2(3-b, 2-a) olur.
Fonksiyon dönüşümlerinde f(x−u)+vf(x-u)+v ifadesi grafiğin yatayda uu birim sağa, dikeyde vv birim yukarı ötelenmesini sağlar.
3
T1T_1 ile T2T_2 noktaları arasındaki uzaklık bağıntısını kullanarak a+ba+b değerini bulalım.
T1T_1 ve T2T_2 noktaları arasındaki uzaklık:
d(T1,T2)=((3+a)−(3−b))2+((2+b)−(2−a))2=(a+b)2+(a+b)2=(a+b)2d(T_1, T_2) = \sqrt{((3+a) - (3-b))^2 + ((2+b) - (2-a))^2} = \sqrt{(a+b)^2 + (a+b)^2} = (a+b)\sqrt{2}
Verilen uzaklık 626\sqrt{2} birim olduğuna göre, (a+b)2=62  ⟹  a+b=6(a+b)\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \implies a+b = 6 elde edilir.
Öteleme parametreleri arasındaki ilk doğrusal ilişkiyi kurmak için iki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılır.
4
TfT_f, T1T_1 ve T2T_2 noktalarını köşe kabul eden üçgenin alan formülünü uygulayarak ∣b2−a2∣|b^2 - a^2| bağıntısını bulalım.
Tf(3,2)T_f(3,2) noktası orijin (0,0)(0,0) konumuna ötelenecek şekilde koordinat sistemi kaydırılırsa, tepe noktaları sırasıyla Tf′(0,0)T_f'(0,0), T1′(a,b)T_1'(a,b) ve T2′(−b,−a)T_2'(-b,-a) olur. Bu üç noktanın oluşturduğu üçgenin alanı:
Alan=12∣a(−a)−b(−b)∣=12∣b2−a2∣\text{Alan} = \frac{1}{2} |a(-a) - b(-b)| = \frac{1}{2} |b^2 - a^2|
Alan 1212 birimkare verildiğinden, 12∣b2−a2∣=12  ⟹  ∣b2−a2∣=24\frac{1}{2} |b^2 - a^2| = 12 \implies |b^2 - a^2| = 24 bulunur.
Üçgenin alanını koordinat düzlemindeki determinant yöntemiyle pratik bir şekilde hesaplamak için referans noktasını orijine taşırız.
5
a+b=6a+b = 6 ve ∣b2−a2∣=24|b^2 - a^2| = 24 denklemlerini ortak çözerek a⋅ba \cdot b çarpımını hesaplayalım.
∣b2−a2∣=∣b−a∣(b+a)=24  ⟹  ∣b−a∣⋅6=24  ⟹  ∣b−a∣=4|b^2 - a^2| = |b-a|(b+a) = 24 \implies |b-a| \cdot 6 = 24 \implies |b-a| = 4 olur.
(a+b)2−(a−b)2=4ab(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab özdeşliğinde değerleri yerine yazarsak:
62−42=4ab  ⟹  36−16=4ab  ⟹  20=4ab  ⟹  ab=56^2 - 4^2 = 4ab \implies 36 - 16 = 4ab \implies 20 = 4ab \implies ab = 5 elde edilir.
Elde edilen toplam ve fark denklemleri yardımıyla iki bilinmeyenli cebirsel denklem çözülerek istenen çarpım değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden fonksiyonların tepe noktalarının yatay (f(x±u)f(x \pm u)) ve dikey (f(x)±vf(x) \pm v) öteleme kurallarına göre koordinat takibinin yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Bu konudan daha fazla soru