Dik koordinat düzleminde, tepe noktas�� T olan f(x) = x^2 - 4x + m parabolü veriliyor. T n… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Dik koordinat düzleminde, tepe noktas��

T

olan

f(x) = x^2 - 4x + m

parabolü veriliyor.

$T$ noktasının orijine olan uzaklığı $2\sqrt{5}$ birim olduğuna göre, $m$ gerçel sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevap: 8

m gerçel say��sının alabileceği pozitif değer 8'dir.

Parabolün tepe noktasının apsisi

r = 2

ve ordinatı

k = m - 4

'tür.

T(2, m-4)

noktasının orijine olan uzaklığı

2\sqrt{5}

birim olduğundan

2^2 + (m-4)^2 = (2\sqrt{5})^2 \implies 4 + (m-4)^2 = 20 \implies (m-4)^2 = 16

olur. Buradan

m

pozitif değeri için

m-4 = 4 \implies m = 8

bulunur.

Tepe noktasının apsisinin (r) bulunması

r = 2

Tepe noktasının apsisi

r = -\frac{b}{2a}

formülü kullanılarak bulunur.

Tepe noktasının ordinatının (k) m cinsinden bulunması

k = m - 4

Apsis değeri parabol denkleminde yerine yazılarak ordinat hesaplanır.

Tepe noktasının orijine olan uzaklığının formüle edilmesi

\sqrt{4 + (m-4)^2} = 2\sqrt{5}

İki nokta arasındaki uzaklık formülü uygulanarak verilen uzaklık değerine eşitlenir.

Denklemin çözülmesi ve pozitif m değerinin belirlenmesi

m = 8

(m-4)^2 = 16

eşitliğinden gelen

m=8

m=0

köklerinden pozitif olanı seçilir.

Parabolün tepe noktası koordinatları ve analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık formülü

Parabolün denklemi tam kareye tamamlama yöntemi kullanılarak

f(x) = (x-2)^2 + m - 4

biçiminde yazılabilir. Bu gösterimden tepe noktasının koordinatları doğrudan

T(2, m-4)

olarak okunur. Sonrasında orijine olan uzaklık bağıntısı yazılarak sonuca ulaşılır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru