Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKombinasyon

Şekilde bir çember üzerinde 5 farklı nokta ve bu çemberi kesmeyen bir dd doğrusu üzerinde 4 farklı nokta işaretlenmiştir. Çember üzerindeki noktaların herhangi ikisinden geçen doğruların hiçbiri dd doğrusu üzerindeki işaretli noktalardan geçmemektedir.

Buna göre, köşeleri bu 9 noktadan seçilen ve en az iki köşesi çember üzerinde olan kaç farklı üçgen çizilebilir?

  1. A
    40
  2. B
    60
  3. 50Cevap
  4. D
    80
  5. E
    84

Cevap

Toplamda 50 farklı üçgen çizilebilir.
İstenen koşula göre çizilecek üçgenlerin en az iki köşesi çember üzerinde olmalıdır. Bu durum iki alt grupta incelenir: Çemberden 2 nokta, dd doğrusundan 1 nokta seçilmesiyle (52)×(41)=40\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40 üçgen; veya çemberden 3 nokta seçilmesiyle (53)=10\binom{5}{3} = 10 üçgen elde edilir. Bu iki bağımsız durum toplandığında toplam 50 üçgen bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci durumu (2 köşesi çember üzerinde, 1 köşesi dd doğrusu üzerinde olan üçgenler) hesaplama.
Çember üzerindeki 5 noktadan 2'si (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde, dd doğrusu üzerindeki 4 noktadan 1'i (41)=4\binom{4}{1} = 4 farklı şekilde seçilir. Bu durumda 10×4=4010 \times 4 = 40 farklı üçgen oluşur.
En az iki köşesi çember üzerinde olması istendiğinden, tam olarak iki köşenin çember üzerinde olduğu durumu belirlemek gerekir.
2
İkinci durumu (3 köşesi de çember üzerinde olan üçgenler) hesaplama.
Çember üzerindeki 5 noktadan 3'ü (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir. Bu durumda 10 farklı üçgen oluşur.
En az iki köşesi çember üzerinde koşulu, 3 köşenin de çember üzerinde olması durumunu kapsar.
3
Tüm durumları toplama.
40+10=5040 + 10 = 50 farklı üçgen çizilebilir.
Birbirinden bağımsız bu iki durumun toplamı, istenen koşula uygun tüm üçgenlerin sayısını verir.

Anahtar Kavram

Kombinasyon (Seçme) kullanarak geometrik şekiller oluşturma ve koşullu durumları ayrı ayrı inceleme.

Alternatif Yöntem

Tüm olası üçgenlerin sayısından, istenmeyen durumların sayısını çıkararak da sonuca ulaşabiliriz. Oluşturulabilecek toplam üçgen sayısı (93)−(43)=80\binom{9}{3} - \binom{4}{3} = 80'dir (çünkü doğrunun üzerindeki 4 noktadan üçgen oluşmaz). İstenmeyen durum ise çemberden 1 nokta ve dd doğrusundan 2 nokta seçilmesidir. Bu durumun sayısı (51)×(42)=5×6=30\binom{5}{1} \times \binom{4}{2} = 5 \times 6 = 30'dur. Tüm durumlardan istenmeyeni çıkardığımızda: 80−30=5080 - 30 = 50 sonucuna ulaşırız.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru