Examkin

Soru

Zorluk: OrtaFonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Dik koordinat düzleminde, f(x)=x2−2x−15f(x) = x^2 - 2x - 15 fonksiyonunun grafiği aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinde g(x)g(x) fonksiyonunun grafiği elde edilmektedir.

y=g(x)y = g(x) parabolünün tepe noktası y=−3xy = -3x doğrusu üzerinde olup, bu parabol yy eksenini (0,4)(0, 4) noktasında kesmektedir.

aa ve bb pozitif gerçek sayılar olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

  1. A
    9
  2. B
    12
  3. 7Cevap
  4. D
    15
  5. E
    21

Cevap

Doğru cevap 7 değeridir.
Doğru seçenekte verilen 7 değeri; tepe noktasının koordinatları ötelenip verilen doğru denkleminde yerine yazıldığında ve y-eksenini kesim noktası koşuluyla birleştirildiğinde elde edilen a = 3 ve b = 4 pozitif değerlerinin toplamıdır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.
f(x)=x2−2x−15f(x) = x^2 - 2x - 15 parabolünün tepe noktasının apsisi r=−−22=1r = -\frac{-2}{2} = 1 ve ordinatı k=f(1)=12−2(1)−15=−16k = f(1) = 1^2 - 2(1) - 15 = -16 olur. Tepe noktası Tf(1,−16)T_f(1, -16) olarak bulunur.
Öteleme dönüşümünü uygulamak için orijinal parabolün tepe noktasını belirlememiz gerekir.
2
g(x) fonksiyonunun tepe noktasını öteleme miktarlarına bağlı olarak ifade edelim.
Grafik aa birim sağa ve bb birim yukarı ötelendiğinden, yeni tepe noktası Tg(1+a,−16+b)T_g(1+a, -16+b) olur.
Yatayda sağa öteleme apsisi artırırken, dikeyde yukarı öteleme ordinatı artırır.
3
Yeni tepe noktasının doğru üzerindeki konumunu kullanarak a ve b arasındaki ilişkiyi bulalım.
TgT_g noktası y=−3xy = -3x doğrusu üzerinde olduğundan koordinatları denklemi sağlar: −16+b=−3(1+a)⇒b=13−3a-16+b = -3(1+a) \Rightarrow b = 13 - 3a elde edilir.
Bir noktan��n bir doğru üzerinde olması, koordinatlarının doğrunun denklemini sağlamasını gerektirir.
4
g(x) fonksiyonunun y-eksenini kestiği nokta bilgisini kullanarak denklemi kuralım.
g(x)=f(x−a)+b=(x−a)2−2(x−a)−15+bg(x) = f(x-a) + b = (x-a)^2 - 2(x-a) - 15 + b şeklindedir. Parabol y-eksenini (0,4)(0,4) noktasında kestiği için g(0)=4g(0) = 4 olur: a2+2a−15+b=4⇒a2+2a+b=19a^2 + 2a - 15 + b = 4 \Rightarrow a^2 + 2a + b = 19.
y-eksenini kesim noktasını bulmak için x = 0 yazılır.
5
Elde edilen iki denklemi ortak çözerek a ve b değerlerini hesaplayalım.
b=13−3ab = 13 - 3a ifadesini a2+2a+b=19a^2 + 2a + b = 19 denkleminde yerine yazarsak: a2+2a+13−3a=19⇒a2−a−6=0⇒(a−3)(a+2)=0a^2 + 2a + 13 - 3a = 19 \Rightarrow a^2 - a - 6 = 0 \Rightarrow (a-3)(a+2) = 0 olur. aa pozitif bir gerçek sayı olduğundan a=3a = 3'tür. Buradan b=13−3(3)=4b = 13 - 3(3) = 4 bulunur.
İki bilinmeyenli denklem sistemini yerine koyma yöntemiyle çözmek için.
6
İstenen a + b toplamını bulalım.
a+b=3+4=7a + b = 3 + 4 = 7 olarak bulunur.
Soruda bizden a ve b değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun grafiği sağa ötelendiğinde tanım kümesindeki değişkenlerden öteleme miktarı çıkarılır (f(x-a)), yukarı ötelendiğinde ise fonksiyonun değerine öteleme miktarı eklenir (f(x)+b).
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonların Dikey ve Yatay Ötelenmesi

Bu konudan daha fazla soru