Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Tepe noktası TT olan f(x)=x2−6x+af(x) = x^2 - 6x + a parabolü, y=2x−3y = 2x - 3 doğrusu ile farklı iki noktada kesişmektedir. Parabolün tepe noktasının, bu kesişim noktalarının orta noktasına olan uzaklığı 17\sqrt{17} birim olduğuna göre, aa değeri kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

Parabolün tepe noktası ile kesişim noktalarının orta noktası arasındaki uzaklık formülü ve parabol ile doğrunun kesişme şartı olan diskriminant kontrolü birlikte uygulandığında aa değeri 10 olarak bulunur.
Parabolün tepe noktası T(3,a−9)T(3, a-9) ve ortak çözüm denkleminin kökleri yardımıyla bulunan orta nokta M(4,5)M(4, 5) arasındaki uzaklık denklemi çözüldüğünde a=10a = 10 veya a=18a = 18 bulunur. Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişmesi için Δ=52−4a>0  ⟹  a<13\Delta = 52 - 4a > 0 \implies a < 13 olmalıdır. Bu koşulu sağlayan tek değer 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
f(x)=x2−6x+af(x) = x^2 - 6x + a parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
r=−−62=3r = -\frac{-6}{2} = 3 ve k=f(3)=32−6(3)+a=a−9k = f(3) = 3^2 - 6(3) + a = a - 9 olup tepe noktası T(3,a−9)T(3, a - 9) olarak elde edilir.
Parabolün tepe noktası T(r,k)T(r, k) olup burada r=−b2ar = -\frac{b}{2a} simetri eksenidir ve ordinat k=f(r)k = f(r) ile hesaplanır.
2
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının orta noktası olan M(x0,y0)M(x_0, y_0) noktasını bulalım.
Kesişim denklemi x2−6x+a=2x−3  ⟹  x2−8x+a+3=0x^2 - 6x + a = 2x - 3 \implies x^2 - 8x + a + 3 = 0 olur. Kökler toplamı x1+x2=−−81=8x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8 olduğundan, orta noktanın apsisi x0=x1+x22=4x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = 4 olur. Bu nokta doğru üzerinde bulunduğundan ordinatı y0=2(4)−3=5y_0 = 2(4) - 3 = 5 olup orta nokta M(4,5)M(4, 5) olarak bulunur.
Kesişim noktalarının orta noktasının apsisi ortak çözüm denkleminin köklerinin aritmetik ortalamasıdır ve bu nokta doğru denklemini sağlamak zorundadır.
3
T(3,a−9)T(3, a - 9) ve M(4,5)M(4, 5) noktaları arasındaki uzaklığı 17\sqrt{17} birime eşitleyip aa değerlerini çözelim.
∣TM∣=(4−3)2+(5−(a−9))2=17  ⟹  1+(14−a)2=17  ⟹  (14−a)2=16|TM| = \sqrt{(4-3)^2 + (5-(a-9))^2} = \sqrt{17} \implies 1 + (14-a)^2 = 17 \implies (14-a)^2 = 16 denkleminden 14−a=4  ⟹  a=1014 - a = 4 \implies a = 10 veya 14−a=−4  ⟹  a=1814 - a = -4 \implies a = 18 bulunur.
İki nokta arasındaki uzaklık formülü ∣TM∣=(xM−xT)2+(yM−yT)2|TM| = \sqrt{(x_M - x_T)^2 + (y_M - y_T)^2} bağıntısı ile hesaplanır.
4
Parabol ile doğrunun iki farklı noktada kesişme koşulunu kullanarak bulunan aa değerlerinin doğruluğunu kontrol edelim.
Ortak denklemin iki farklı gerçel kökü olması için diskriminant Δ=(−8)2−4(1)(a+3)=52−4a>0  ⟹  a<13\Delta = (-8)^2 - 4(1)(a+3) = 52 - 4a > 0 \implies a < 13 olmalıdır. Bu koşula göre a=18a = 18 elenir ve doğru değer a=10a = 10 olarak bulunur.
Bir parabol ile bir doğrunun iki farklı noktada kesişmesi, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfırdan büyük olmasıyla mümkündür.

Anahtar Kavram

Parabolün tepe noktasının ve simetri ekseninin koordinatlarının bulunması, parabol ile doğrunun kesişim koşulları ve iki nokta arasındaki uzaklık formülü.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabolün Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Bu konudan daha fazla soru