Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları
Hermann Ebbinghaus’un unutma eğrisi modeline göre, yeni öğrenilen bir konunun tt gün sonra hatırlanma yüzdesi P(t)P(t) olmak üzere,
P(t)=90+40log⁡13(t+1)P(t) = 90 + 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1)
fonksiyonu ile modellenmektedir.

Buna göre, yeni öğrenilen bir konunun hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması için geçen süre (tt gün) aşağıdaki aralıkların hangisinde yer almalıdır?

  1. A
    [8,∞)[8, \infty)
  2. B
    [0,9][0, 9]
  3. [0,8][0, 8]Cevap
  4. D
    (−1,8](-1, 8]
  5. E
    (−∞,8](-\infty, 8]

Cevap

Hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması için geçen süre [0,8][0, 8] aralığında yer almalıdır.
Doğru cevap olan [0,8][0, 8] aralığı, P(t)≥10P(t) \geq 10 eşitsizliğinin doğru çözülmesiyle elde edilir. Taban basit kesir olduğundan eşitsizlik yön değiştirir ve t≤8t \leq 8 bulunur. Zaman negatif olamayacağı için alt sınır 00 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliği kurma ve düzenleme
log⁡13(t+1)≥−2\log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -2
Hatırlanma yüzdesinin %10 veya daha fazla olması istendiğinden P(t)≥10P(t) \geq 10 yazılır. 90+40log⁡13(t+1)≥10  ⟹  40log⁡13(t+1)≥−80  ⟹  log⁡13(t+1)≥−290 + 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq 10 \implies 40 \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -80 \implies \log_{\frac{1}{3}}(t + 1) \geq -2 elde edilir.
2
Eşitsizliği çözme ve taban özelliğini kullanma
t≤8t \leq 8
Logaritmanın tabanı olan 13\frac{1}{3} basit kesir olduğundan (0<13<10 < \frac{1}{3} < 1), logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir: t+1≤(13)−2  ⟹  t+1≤9  ⟹  t≤8t + 1 \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} \implies t + 1 \leq 9 \implies t \leq 8 bulunur.
3
Tanım kümesi ve gerçek hayat kısıtlarını uygulama
0≤t≤80 \leq t \leq 8
Logaritmanın tanımlı olması için t+1>0  ⟹  t>−1t + 1 > 0 \implies t > -1 olmalıdır. Ayrıca gerçek hayat kısıtı olarak geçen zaman negatif olamayacağından t≥0t \geq 0 olmalıdır. Bu koşullarla t≤8t \leq 8 eşitsizliğinin kesişimi alınarak [0,8][0, 8] aralığı bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik modellerin gerçek hayat kısıtları ve basit kesir tabanlı eşitsizliklerin çözümü
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Gerçek Hayat Uygulamaları