Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri
(x−2)2(x+1)x−2≤0\frac{(x - 2)^2 (x + 1)}{x - 2} \le 0
x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \le 0
yukarıda verilen eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    [−1,2][-1, 2]
  2. [−1,2)[-1, 2)Cevap
  3. C
    [−2,−1][-2, -1]
  4. D
    [−2,−1]∪(2,3][-2, -1] \cup (2, 3]
  5. E
    [−2,−1]∪[2,3][-2, -1] \cup [2, 3]

Cevap

Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığıdır.
Sistemdeki birinci eşitsizlikte x=2x = 2 değeri paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesinde yer alamaz. Eşitsizlik sadeleştirilip incelendiğinde birinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığı bulunur. İkinci eşitsizlik olan x2−x−6≤0x^2 - x - 6 \le 0 ifadesinin kökleri −2-2 ve 33 olup çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] kapalı aralığıdır. İki aralığın ortak kesişim bölgesi alındığında [−1,2)[-1, 2) yarı açık aralığı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci eşitsizliği analiz etme ve kökleri belirleme.
Paydayı sıfır yapan x=2x = 2 değeri tanımsızlık oluşturduğu için çözüm kümesine dahil edilemez (x≠2x \neq 2). x≠2x \neq 2 koşulu altında pay ve paydadaki ortak terimler sadeleştirildiğinde birinci eşitsizlik (x−2)(x+1)≤0(x - 2)(x + 1) \le 0 halini alır. Bu ifadenin kökleri x=−1x = -1 ve x=2x = 2 değerleridir. x=2x = 2 değeri hariç tutulduğu için bu eşitsizliğin çözüm kümesi [−1,2)[-1, 2) aralığı olur.
İlk eşitsizliğin çözüm aralığını bulmak.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çarpanlarına ayırma ve kökleri belirleme.
x2−x−6≤0⇒(x−3)(x+2)≤0x^2 - x - 6 \le 0 \Rightarrow (x - 3)(x + 2) \le 0 elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2 ve x=3x = 3 değerleridir. Baş katsayı pozitif olduğundan, kökler arasında ifade negatif değerler alır. Bu durumda ikinci eşitsizliğin çözüm kümesi [−2,3][-2, 3] aralığı olur.
İkinci eşitsizliğin çözüm aralığını bulmak.
3
İki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimini alma.
Sistemin ortak çözüm kümesi [−1,2)∩[−2,3]=[−1,2)[-1, 2) \cap [-2, 3] = [-1, 2) olarak bulunur.
Her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan ortak xx değerlerinin aralığını tespit etmek.

Anahtar Kavram

Eşitsizlik sistemlerinde her bir eşitsizliğin ayrı ayrı çözüm kümeleri bulunup bu kümelerin kesişimi alınır. Rasyonel ifadelerde paydayı sıfır yapan kökler asla çözüm kümesine dahil edilemez.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri