Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninin kenar uzunlukları sırasıyla aa, bb ve cc birim, bu kenarların karşılarındaki açılarının ölçüleri ise sırasıyla AA, BB ve CC'dir. Bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı RR birim olmak üzere,

a+bsin⁡A+sin⁡B=R2−3\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = R^2 - 3

eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin alanı kaç π\pi birimkaredir?

Cevap: 9

Cevap

Çevrel çemberin alanı 9π9\pi birimkaredir, dolayısıyla aranan değer 9'dur.
Sinüs Teoremi gereği asin⁡A=bsin⁡B=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R eşitliği mevcuttur. Orantı özelliklerine göre payların toplamının paydaların toplamına oranı da bu sabit orana (2R2R) eşit olacaktır. Buradan denklem 2R=R2−32R = R^2 - 3 biçimine dönüşür. İkinci dereceden denklemin pozitif kökü R=3R = 3 olarak elde edilir. Çevrel çemberin alanı πR2\pi R^2 formülünden 9π9\pi bulunur, bu nedenle cevap 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi bağıntılarını ifade etmek
asin⁡A=bsin⁡B=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R
Üçgenin kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri ve çevrel çemberin yarıçapı arasındaki temel ilişkiyi kurmak.
2
Orantı toplama özelliğini uygulamak
a+bsin⁡A+sin⁡B=2R\frac{a + b}{\sin A + \sin B} = 2R
Verilen denklemdeki pay ve payda toplamını içeren kesirli ifadeyi tek bir terime indirgemek.
3
Elde edilen terimi denklemde yerine yazarak çözmek
2R=R2−3  ⟹  R2−2R−3=0  ⟹  (R−3)(R+1)=0  ⟹  R=32R = R^2 - 3 \implies R^2 - 2R - 3 = 0 \implies (R - 3)(R + 1) = 0 \implies R = 3
Çevrel çemberin yarıçapını bulmak (yarıçap uzunluğu negatif olamayacağı için pozitif kök olan 3 alınır).
4
Dairenin alan formülünü uygulamak
Alan = πR2=π⋅32=9π\pi R^2 = \pi \cdot 3^2 = 9\pi
Çevrel ��emberin alanını hesaplayarak soruda istenen katsayıyı bulmak.

Anahtar Kavram

Sinüs Teoremi oranının çevrel çemberin çapına eşit olması ve orantı özelliklerinin uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru