\cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right) ifade… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\cos\left(\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) + \arctan\left(\frac{5}{12}\right)\right)

ifadesinin değeri kaçtır?

İfadenin doğru değeri

\frac{56}{65}

'tir.

Doğru yanıt olan değer,

\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right)

açısının 4. bölgede yer alması nedeniyle kosinüsünün pozitif (

\frac{3}{5}

) olması ve kosinüs toplam formülünün doğru işaretlerle uygulanması sonucu

\frac{36}{65} - \left(-\frac{20}{65}\right) = \frac{56}{65}

olarak elde edilir.

\arcsin\left(-\frac{4}{5}\right) = x

dönüşümü yapılarak

x

açısının trigonometrik değerleri belirlenir.

\sin(x) = -\frac{4}{5}

\cos(x) = \frac{3}{5}

bulunur.

\arcsin

fonksiyonunun değer kümesi

[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]

aralığıdır. Girdi negatif olduğundan,

x

açısı 4. bölgededir (

x \in [-\frac{\pi}{2}, 0]

). Bu bölgede sinüs negatif, kosinüs ise pozitiftir.

\arctan\left(\frac{5}{12}\right) = y

dönüşümü yapılarak

y

açısının trigonometrik değerleri belirlenir.

\tan(y) = \frac{5}{12}

\sin(y) = \frac{5}{13}

\cos(y) = \frac{12}{13}

bulunur.

\arctan

fonksiyonunun değer kümesi

(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})

aralığıdır. Girdi pozitif olduğundan,

y

açısı 1. bölgededir (

y \in (0, \frac{\pi}{2})

Kosinüs toplam formülü kullanılarak ifadenin değeri hesaplanır.

\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{12}{13}\right) - \left(-\frac{4}{5}\right)\left(\frac{5}{13}\right) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} = \frac{56}{65}

bulunur.

İki açının toplamının kosinüsü

\cos(x+y) = \cos(x)\cos(y) - \sin(x)\sin(y)

bağıntısı ile hesaplanır.

Ters trigonometrik fonksiyonların değer aralıklarının belirlenmesi ve trigonometrik toplam formüllerinin uygulanması.

Soru