Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKombinasyon

Bir düzlemde bulunan 66 doğrudan 33 tanesi sabit bir PP noktasından, diğer 33 tanesi ise PP noktasından farklı sabit bir RR noktasından geçmektedir.

Bu doğruların herhangi ikisi paralel değildir ve bu doğruların kesişim noktalarından, verilen 66 doğru üzerinde bulunanlar dışında, herhangi üçü doğrusal değildir.

Buna göre, bu doğruların kesişim noktaları köşe kabul edilerek kaç farklı üçgen oluşturulabilir?

  1. A
    78
  2. 141Cevap
  3. C
    153
  4. D
    159
  5. E
    165

Cevap

141
Toplam 1111 kesişim noktası vardır (PP noktası, RR noktası ve bu iki noktadan çıkan doğruların kesişmesiyle oluşan 99 nokta). Bu 1111 noktadan seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısı (113)=165\binom{11}{3} = 165'tir. Ancak aynı doğru üzerinde bulunan noktalar üçgen oluşturamaz. PP noktasından geçen 33 doğrunun her birinde ve RR noktasından geçen 33 doğrunun her birinde olmak üzere toplam 66 doğrunun her birinin üzerinde 44 adet nokta bulunmaktadır. Her bir doğru için bu 44 noktadan seçilecek üçlüler (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı doğrusal grup oluşturur. Toplamda 6×4=246 \times 4 = 24 doğrusal üçlü grubu üçgen oluşturamayacağı için tüm durumlardan çıkarılır ve 165−24=141165 - 24 = 141 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kesişim noktalarının toplam sayısını bulun.
Toplam 1111 kesişim noktası vardır.
PP ve RR noktalarının kendileri birer kesişim noktasıdır. Ayrıca, PP noktasından geçen 33 doğru ile RR noktasından geçen 33 doğru, paralel olmadıkları için 3×3=93 \times 3 = 9 farklı noktada kesişir. Buradan toplam nokta sayısı 1+1+9=111 + 1 + 9 = 11 olur.
2
Bu noktalar arasından seçilebilecek tüm üçlü kombinasyonların sayısını hesaplayın.
(113)=165\binom{11}{3} = 165 farklı seçim yapılabilir.
Herhangi üç noktanın seçimi, sıranın önemsiz olduğu kombinasyon işlemiyle (113)=11×10×93×2×1=165\binom{11}{3} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 165 olarak bulunur.
3
Aynı doğru üzerinde bulunan doğrusal nokta üçlülerinin sayısını hesaplayın.
Toplam 2424 doğrusal üçlü vardır.
PP noktasından geçen 33 doğrunun her biri üzerinde PP nokta ve diğer gruptaki doğrularla olan 33 kesişim noktası dahil olmak üzere toplam 44 nokta bulunur. Bir doğru üzerindeki 44 noktadan oluşturulabilecek doğrusal üçlü sayısı (43)=4\binom{4}{3} = 4'tür. PP'den geçen 33 doğru için 3×4=123 \times 4 = 12 doğrusal üçlü gelir. Benzer şekilde, RR noktasından geçen 33 doğrunun her birinin üzerinde de 44 nokta bulunur ve oradan da 3×4=123 \times 4 = 12 doğrusal üçlü gelir. Toplamda 12+12=2412 + 12 = 24 doğrusal üçlü elde edilir.
4
Oluşturulabilecek üçgen sayısını hesaplamak için tüm durumlardan doğrusal durumları çıkarın.
Toplam 141141 farklı üçgen oluşturulabilir.
Doğrusal üçlüler üçgen oluşturamayacağından, tüm durumlardan doğrusal durumlar çıkarılır: 165−24=141165 - 24 = 141.

Anahtar Kavram

Geometrik Kombinasyon ve Doğrusallık Analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Kombinasyon

Bu konudan daha fazla soru