Examkin

Soru

Zorluk: KolaySinüs Teoremi

Bir ABCABC üçgeninde, m(ACB^)=150∘m(\widehat{ACB}) = 150^\circ ve ∣AB∣=10 cm|AB| = 10\text{ cm}'dir. Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı kaç santimetredir?

  1. A
    5
  2. 10Cevap
  3. C
    20
  4. D
    1033\frac{10\sqrt{3}}{3}
  5. E
    535\sqrt{3}

Cevap

10 santimetredir.
Sinüs Teoremi'ne göre ∣AB∣sin⁡(C^)=2R\frac{|AB|}{\sin(\widehat{C})} = 2R bağıntısı vardır. ∣AB∣=10|AB| = 10 ve sin⁡(150∘)=1/2\sin(150^\circ) = 1/2 değerleri yerine yazıldığında 2R=202R = 20 bulunur. Buradan yarıçap R=10 cmR = 10\text{ cm} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sinüs Teoremi formülünü belirleme
\frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} = 2R
Bir üçgenin kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki ilişkiyi ve çevrel çemberin yarıçapını (RR) bağlayan teorem Sinüs Teoremi'dir.
2
Verilen değerleri formülde yerine yazma
10sin⁡(150∘)=2R\frac{10}{\sin(150^\circ)} = 2R
Soruda ∣AB∣=c=10 cm|AB| = c = 10\text{ cm} ve bu kenarın karşısındaki açı m(C^)=150∘m(\widehat{C}) = 150^\circ olarak verilmiştir.
3
Geniş açının sinüs değerini indirgeme formülüyle hesaplama
\sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2}
İkinci bölgedeki bir açının sinüs değerini bulmak için bütünler açısının sinüs değeri kullanılır.
4
Bulunan sinüs değerini yerine yazarak yarıçapı (RR) yalnız bırakma
\frac{10}{\frac{1}{2}} = 2R \implies 20 = 2R \implies R = 10
Eşitliğin sol tarafındaki bölme işlemi yapıldıktan sonra her iki taraf 2'ye bölünerek yarıçap bulunur.

Anahtar Kavram

Bir üçgende Sinüs Teoremi yardımıyla çevrel çemberin yarıçapının hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Çevrel çember çizildiğinde, 150∘150^\circ'lik çevre açının gördüğü yay 300∘300^\circ olur. Dolayısıyla geriye kalan küçük yay 60∘60^\circ olur. Bu yayı gören merkez açı da 60∘60^\circ olacaktır. Çemberin merkezi OO ise, OABOAB üçgeninde ∣OA∣=∣OB∣=R|OA| = |OB| = R (yarıçap) ve tepe açısı 60∘60^\circ olduğundan OABOAB eşkenar üçgendir. Buradan ∣AB∣=R=10 cm|AB| = R = 10\text{ cm} doğrudan bulunur.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sinüs Teoremi

Bu konudan daha fazla soru