Examkin

İndirgemeli Diziler

24 soru

Tüm türler24Çoktan seçmeli12Sayısal12
Soru 21Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=2a_1 = 2 ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1−an=(−1)n(2n+1)a_{n+1} - a_n = (-1)^n (2n + 1)
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 20. terimi olan a20a_{20} değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −19-19

Cevap

-19
Verilen indirgeme bağıntısı n = 1'den n = 19'a kadar yazılıp taraf tarafa toplandığında teleskopik toplam elde edilir. Bu toplamda terimler ikişerli gruplandırılarak toplamın değeri -21 olarak bulunur. Başlangıç terimi olan 2 eklendiğinde dizinin 20. terimi -19 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında n yerine sırasıyla 1, 2, 3, ..., 19 yazılır.
a2−a1=−3a_2 - a_1 = -3, a3−a2=5a_3 - a_2 = 5, a4−a3=−7a_4 - a_3 = -7, ..., a20−a19=−39a_{20} - a_{19} = -39 eşitlikleri elde edilir.
a_{20} terimine ulaşmak için ardışık terimlerin farklarını listeleyip toplamak gerekir.
2
Elde edilen 19 adet eşitlik taraf tarafa toplanır.
a20−a1=−3+5−7+9−11+13−⋯−39a_{20} - a_1 = -3 + 5 - 7 + 9 - 11 + 13 - \dots - 39 eşitliği elde edilir.
Sol taraftaki terimler teleskopik olarak birbirini sadeleştirir.
3
Sağ taraftaki ardışık toplama işlemini kolaylaştırmak için terimler ikişerli gruplandırılır.
(−3+5)+(−7+9)+⋯+(−35+37)−39=9×2−39=18−39=−21(-3 + 5) + (-7 + 9) + \dots + (-35 + 37) - 39 = 9 \times 2 - 39 = 18 - 39 = -21 bulunur.
Her ardışık çiftin toplamı sabit 2 değerini verir ve toplamda 9 adet çift ile bir adet tek terim (-39) kalır.
4
Bulunan fark toplamına dizinin ilk terimi olan a1=2a_1 = 2 eklenir.
a20−2=−21  ⟹  a20=−19a_{20} - 2 = -21 \implies a_{20} = -19 olarak bulunur.
İndirgemeli dizinin 20. teriminin gerçek değerini elde etmek için başlangıç koşulu uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin bulunması.
Soru 22Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=1100a_1 = \frac{1}{100} olmak üzere, her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=an+2n+1n2(n+1)2a_{n+1} = a_n + \frac{2n + 1}{n^2(n+1)^2}
indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 1

Cevap

Dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri 1'dir.
Rasyonel ifade basit kesirlere ayrıştırıldığında teleskopik sadeleşme gerçekleşir ve a10−a1=1−1100a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100} elde edilir. a1=1100a_1 = \frac{1}{100} değeri yerine yazıldığında a10=1a_{10} = 1 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı biçiminde yazma.
2n+1n2(n+1)2=1n2−1(n+1)2\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}
Bu dönüşüm, terimlerin ardışık farklar şeklinde yazılarak teleskopik sadeleşme sağlaması için gereklidir.
2
Bağıntıyı düzenleyip n=1n=1 ile n=9n=9 arasındaki değerleri yazarak taraf tarafa toplama.
a10−a1=1−1100a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100}
Ardışık terimlerin farklarının toplamı alındığında aradaki terimler birbirini sadeleştirir.
3
Verilen a1=1100a_1 = \frac{1}{100} değerini yerine koyarak a10a_{10} değerini hesaplama.
a10=1a_{10} = 1
Bulunan genel fark denklemine bilinen ilk terim değeri eklenerek aranan terime ulaşılır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla terim bulma.
Soru 23Soru →
Bir (an)(a_n) pozitif gerçel sayı dizisinde, a1=218a_1 = 2^{\frac{1}{8}} ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=an⋅21n(n+1)a_{n+1} = a_n \cdot 2^{\frac{1}{n(n+1)}}
indirgeme bağıntısı veriliyor.

Buna göre, bu dizinin 8. terimi olan a8a_8 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 22

Cevap

Dizinin 8. terimi olan a8a_8 değeri 2'dir.
Verilen bağıntının her iki tarafının 2 tabanına göre logaritması alındığında bn+1−bn=1n−1n+1b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde teleskopik bir toplam elde edilir. n=1n=1 ile n=7n=7 arasındaki terimler taraf tarafa toplandığında b8−b1=78b_8 - b_1 = \frac{7}{8} bağıntısına ulaşılır. b1=18b_1 = \frac{1}{8} değeri eklendiğinde b8=1b_8 = 1 bulunur ve bu da a8=2a_8 = 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısının her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.
log⁡2(an+1)=log⁡2(an⋅21n(n+1))  ⟹  log⁡2(an+1)=log⁡2(an)+1n(n+1)\log_2(a_{n+1}) = \log_2\left(a_n \cdot 2^{\frac{1}{n(n+1)}}\right) \implies \log_2(a_{n+1}) = \log_2(a_n) + \frac{1}{n(n+1)}
Çarpım durumundaki indirgeme bağıntıs��nı, teleskopik olarak toplanabilecek bir biçime dönüştürmek için logaritma özellikleri kullanılır.
2
bn=log⁡2(an)b_n = \log_2(a_n) tanımlaması yaparak yeni dizinin bağıntısını ve başlangıç terimini belirleyin.
bn+1−bn=1n(n+1)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)}
Başlangıç terimi için:
b1=log⁡2(a1)=log⁡2(218)=18b_1 = \log_2(a_1) = \log_2\left(2^{\frac{1}{8}}\right) = \frac{1}{8}
İfadeyi daha sade ve doğrusal bir indirgemeli dizi halinde yazmak çözüm sürecini kolaylaştırır.
3
1n(n+1)\frac{1}{n(n+1)} ifadesini basit kesirlerin farkı olarak yazıp n=1n=1 ile n=7n=7 değerleri için yazarak taraf tarafa toplayın.
1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
b2−b1=1−12b_2 - b_1 = 1 - \frac{1}{2}
b3−b2=12−13b_3 - b_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
⋮\vdots
b8−b7=17−18b_8 - b_7 = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}

Taraf tarafa toplandığında:
b8−b1=1−18=78b_8 - b_1 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
Ardışık terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak b8b_8 değerini doğrudan b1b_1 cinsinden hesaplamak amaçlanır.
4
b1=18b_1 = \frac{1}{8} değerini yerine yazarak b8b_8 ve ardından a8a_8 değerini bulun.
b8=b1+78=18+78=1b_8 = b_1 + \frac{7}{8} = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = 1
b8=log⁡2(a8)=1  ⟹  a8=21=2b_8 = \log_2(a_8) = 1 \implies a_8 = 2^1 = 2
Tanımlanan yardımcı dizinin teriminden yararlanarak orijinal dizinin hedeflenen terimine geri dönülür.

Anahtar Kavram

Logaritma yardımıyla çözülebilen çarpımsal indirgemeli diziler ve rasyonel ifadelerde teleskopik toplam uygulaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 24Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde, a1=6a_1 = 6 ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için

an+1−an=12n+1+2n−1a_{n+1} - a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, a41a_{41} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dizinin 41. teriminin değeri 10'dur.
Bağıntıda paydanın eşleniğiyle genişletilmesi sonucunda an+1−an=2n+1−2n−12a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2} elde edilir. n=1n=1'den 4040'a kadar taraf tarafa toplama yapıldığında aradaki terimler birbirini yok eder ve geriye a41−a1=9−12=4a_{41} - a_1 = \frac{9-1}{2} = 4 kalır. a1=6a_1 = 6 başlangıç koşulu eklendiğinde a41=10a_{41} = 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısının sağ tarafındaki terimi paydadan kurtarmak için eşleniği olan (2n+1−2n−1)(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}) ile çarpalım.
an+1−an=2n+1−2n−12a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}
Eşlenik çarpımı yapıldığında payda (2n+1)−(2n−1)=2(2n+1) - (2n-1) = 2 olur ve sadeleştirme kolaylaşır.
2
nn yerine sırasıyla 11 ve 4040 arasındaki tam sayı değerlerini yazalım.
n=1  ⟹  a2−a1=3−12n=1 \implies a_2 - a_1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}
n=2  ⟹  a3−a2=5−32n=2 \implies a_3 - a_2 = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}
…\dots
n=40  ⟹  a41−a40=81−792n=40 \implies a_{41} - a_{40} = \frac{\sqrt{81} - \sqrt{79}}{2}
Teleskobik toplam yöntemiyle aradaki terimleri birbirini götürecek şekilde düzenlemek hedeflenir.
3
Elde edilen 40 adet eşitliği taraf tarafa toplayalım.
a41−a1=81−12a_{41} - a_1 = \frac{\sqrt{81} - 1}{2}
Sol taraftaki a2,a3,…,a40a_2, a_3, \dots, a_{40} terimleri birbirini sadeleştirir; sağ tarafta ise ardışık köklü ifadelerden sadece ilk terimin negatif kökü ile son terimin pozitif kökü kalır.
4
Kök dışına çıkarma işlemini yapalım ve a1=6a_1 = 6 değerini yerine koyarak a41a_{41} terimini yalnız bırakalım.
a41−6=9−12=4  ⟹  a41=10a_{41} - 6 = \frac{9 - 1}{2} = 4 \implies a_{41} = 10
a1a_1 değeri bilindiğinden denklem çözülerek istenen terim elde edilir.

Anahtar Kavram

Teleskobik toplam yöntemi ve köklü ifadelerde eşlenik çarpımı kullanarak indirgemeli dizileri çözme.
Tahmini Süre:2m 0s
ÖncekiSayfa 2 / 2
İndirgemeli Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2 | Examkin