Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİndirgemeli Diziler
Bir (an)(a_n) pozitif gerçel sayı dizisinde, a1=218a_1 = 2^{\frac{1}{8}} ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için
an+1=an⋅21n(n+1)a_{n+1} = a_n \cdot 2^{\frac{1}{n(n+1)}}
indirgeme bağıntısı veriliyor.

Buna göre, bu dizinin 8. terimi olan a8a_8 kaçtır?

  1. A
    2782^{\frac{7}{8}}
  2. 22Cevap
  3. C
    27642^{\frac{7}{64}}
  4. D
    2−342^{-\frac{3}{4}}
  5. E
    2982^{\frac{9}{8}}

Cevap

Dizinin 8. terimi olan a8a_8 değeri 2'dir.
Verilen bağıntının her iki tarafının 2 tabanına göre logaritması alındığında bn+1−bn=1n−1n+1b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} şeklinde teleskopik bir toplam elde edilir. n=1n=1 ile n=7n=7 arasındaki terimler taraf tarafa toplandığında b8−b1=78b_8 - b_1 = \frac{7}{8} bağıntısına ulaşılır. b1=18b_1 = \frac{1}{8} değeri eklendiğinde b8=1b_8 = 1 bulunur ve bu da a8=2a_8 = 2 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısının her iki tarafının 2 tabanında logaritmasını alın.
log⁡2(an+1)=log⁡2(an⋅21n(n+1))  ⟹  log⁡2(an+1)=log⁡2(an)+1n(n+1)\log_2(a_{n+1}) = \log_2\left(a_n \cdot 2^{\frac{1}{n(n+1)}}\right) \implies \log_2(a_{n+1}) = \log_2(a_n) + \frac{1}{n(n+1)}
Çarpım durumundaki indirgeme bağıntıs��nı, teleskopik olarak toplanabilecek bir biçime dönüştürmek için logaritma özellikleri kullanılır.
2
bn=log⁡2(an)b_n = \log_2(a_n) tanımlaması yaparak yeni dizinin bağıntısını ve başlangıç terimini belirleyin.
bn+1−bn=1n(n+1)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)}
Başlangıç terimi için:
b1=log⁡2(a1)=log⁡2(218)=18b_1 = \log_2(a_1) = \log_2\left(2^{\frac{1}{8}}\right) = \frac{1}{8}
İfadeyi daha sade ve doğrusal bir indirgemeli dizi halinde yazmak çözüm sürecini kolaylaştırır.
3
1n(n+1)\frac{1}{n(n+1)} ifadesini basit kesirlerin farkı olarak yazıp n=1n=1 ile n=7n=7 değerleri için yazarak taraf tarafa toplayın.
1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
b2−b1=1−12b_2 - b_1 = 1 - \frac{1}{2}
b3−b2=12−13b_3 - b_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
⋮\vdots
b8−b7=17−18b_8 - b_7 = \frac{1}{7} - \frac{1}{8}

Taraf tarafa toplandığında:
b8−b1=1−18=78b_8 - b_1 = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
Ardışık terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak b8b_8 değerini doğrudan b1b_1 cinsinden hesaplamak amaçlanır.
4
b1=18b_1 = \frac{1}{8} değerini yerine yazarak b8b_8 ve ardından a8a_8 değerini bulun.
b8=b1+78=18+78=1b_8 = b_1 + \frac{7}{8} = \frac{1}{8} + \frac{7}{8} = 1
b8=log⁡2(a8)=1  ⟹  a8=21=2b_8 = \log_2(a_8) = 1 \implies a_8 = 2^1 = 2
Tanımlanan yardımcı dizinin teriminden yararlanarak orijinal dizinin hedeflenen terimine geri dönülür.

Anahtar Kavram

Logaritma yardımıyla çözülebilen çarpımsal indirgemeli diziler ve rasyonel ifadelerde teleskopik toplam uygulaması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İndirgemeli Diziler

Bu konudan daha fazla soru