Bir (a_n) dizisinde a_1 = \frac{1}{100} olmak üzere, her n \geq 1 pozitif tam sayısı için … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir

(a_n)

dizisinde

a_1 = \frac{1}{100}

olmak üzere, her

n \geq 1

pozitif tam sayısı için

a_{n+1} = a_n + \frac{2n + 1}{n^2(n+1)^2}

indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan $a_{10}$ değeri kaçtır?

Cevap: 1

Dizinin 10. terimi olan

a_{10}

değeri 1'dir.

Rasyonel ifade basit kesirlere ayrıştırıldığında teleskopik sadeleşme gerçekleşir ve

a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100}

elde edilir.

a_1 = \frac{1}{100}

değeri yerine yazıldığında

a_{10} = 1

bulunur.

İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı biçiminde yazma.

\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}

Bu dönüşüm, terimlerin ardışık farklar şeklinde yazılarak teleskopik sadeleşme sağlaması için gereklidir.

Bağıntıyı düzenleyip

n=1

ile

n=9

arasındaki değerleri yazarak taraf tarafa toplama.

a_{10} - a_1 = 1 - \frac{1}{100}

Ardışık terimlerin farklarının toplamı alındığında aradaki terimler birbirini sadeleştirir.

Verilen

a_1 = \frac{1}{100}

değerini yerine koyarak

a_{10}

değerini hesaplama.

a_{10} = 1

Bulunan genel fark denklemine bilinen ilk terim değeri eklenerek aranan terime ulaşılır.

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla terim bulma.

Soru