Bir (a_n) dizisinde, a_1 = 6 ve her n \geq 1 pozitif tam sayısı için a_{n+1} - a_n = \frac… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Bir $(a_n)$ dizisinde, $a_1 = 6$ ve her $n \geq 1$ pozitif tam sayısı için

a_{n+1} - a_n = \frac{1}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, $a_{41}$ değeri kaçtır?

Cevap: 10

Dizinin 41. teriminin değeri 10'dur.

Bağıntıda paydanın eşleniğiyle genişletilmesi sonucunda

a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}

elde edilir.

n=1

'den

40

'a kadar taraf tarafa toplama yapıldığında aradaki terimler birbirini yok eder ve geriye

a_{41} - a_1 = \frac{9-1}{2} = 4

kalır.

a_1 = 6

başlangıç koşulu eklendiğinde

a_{41} = 10

olarak bulunur.

İndirgeme bağıntısının sağ tarafındaki terimi paydadan kurtarmak için eşleniği olan

(\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1})

ile çarpalım.

a_{n+1} - a_n = \frac{\sqrt{2n+1} - \sqrt{2n-1}}{2}

Eşlenik çarpımı yapıldığında payda

(2n+1) - (2n-1) = 2

olur ve sadeleştirme kolaylaşır.

n

yerine sırasıyla

1

40

arasındaki tam sayı değerlerini yazalım.

n=1 \implies a_2 - a_1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}

n=2 \implies a_3 - a_2 = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2}

\dots

n=40 \implies a_{41} - a_{40} = \frac{\sqrt{81} - \sqrt{79}}{2}

Teleskobik toplam yöntemiyle aradaki terimleri birbirini götürecek şekilde düzenlemek hedeflenir.

Elde edilen 40 adet eşitliği taraf tarafa toplayalım.

a_{41} - a_1 = \frac{\sqrt{81} - 1}{2}

Sol taraftaki

a_2, a_3, \dots, a_{40}

terimleri birbirini sadeleştirir; sağ tarafta ise ardışık köklü ifadelerden sadece ilk terimin negatif kökü ile son terimin pozitif kökü kalır.

Kök dışına çıkarma işlemini yapalım ve

a_1 = 6

değerini yerine koyarak

a_{41}

terimini yalnız bırakalım.

a_{41} - 6 = \frac{9 - 1}{2} = 4 \implies a_{41} = 10

a_1

değeri bilindiğinden denklem çözülerek istenen terim elde edilir.

Teleskobik toplam yöntemi ve köklü ifadelerde eşlenik çarpımı kullanarak indirgemeli dizileri çözme.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru