Examkin

İndirgemeli Diziler

24 soru

Tüm türler24Çoktan seçmeli12Sayısal12
Soru 1Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2n

bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, bu dizinin dördüncü terimi (a4a_4) kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

Dizinin dördüncü terimi olan a4a_4 değeri 15'tir.
Verilen an+1=an+2na_{n+1} = a_n + 2n bağıntısında a1=3a_1 = 3 başlangıç koşulu kullanılarak sırasıyla n=1,n=2n=1, n=2 ve n=3n=3 yazılır. n=1n=1 için a2=a1+2=5a_2 = a_1 + 2 = 5 olur. n=2n=2 için a3=a2+4=9a_3 = a_2 + 4 = 9 olur. Son olarak n=3n=3 için a4=a3+6=15a_4 = a_3 + 6 = 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n = 1 için a2a_2 terimini hesaplayın.
a2=5a_2 = 5
Dizinin ikinci terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=1n = 1 yazılır: a2=a1+2(1)=3+2=5a_2 = a_1 + 2(1) = 3 + 2 = 5 elde edilir.
2
n=2n = 2 için a3a_3 terimini hesaplayın.
a3=9a_3 = 9
Dizinin üçüncü terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=2n = 2 yazılır ve bir önceki adımda bulunan a2a_2 değeri yerine konur: a3=a2+2(2)=5+4=9a_3 = a_2 + 2(2) = 5 + 4 = 9 elde edilir.
3
n=3n = 3 için a4a_4 terimini hesaplayın.
a4=15a_4 = 15
Dizinin dördüncü terimine ulaşmak için indirgeme bağıntısında n=3n = 3 yazılır ve bir ��nceki adımda bulunan a3a_3 değeri yerine konur: a4=a3+2(3)=9+6=15a_4 = a_3 + 2(3) = 9 + 6 = 15 elde edilir.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde verilen başlangıç terimi ve ardı��ık terimler arasındaki bağıntıyı kullanarak sırayla sonraki terimleri hesaplama.
Soru 2Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=nn+1⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n
bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=12a_1 = 12 olduğuna göre, bu dizinin altıncı terimi olan a6a_6 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Dizinin altıncı terimi 2'dir.
Verilen an+1=nn+1⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+1} \cdot a_n indirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1, 2, 3, 4 ve 5 yazılıp elde edilen eşitlikler taraf tarafa çarpıldığında, eşitliğin her iki tarafındaki a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye kalan a6=16⋅a1a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1 eşitliğinde a1=12a_1 = 12 değeri yerine yazıldığında sonuç 2 olarak bulunur. Bu durum 2 değerinin yer aldığı seçeneği doğru kılar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen indirgeme bağıntısını n=1n=1 değerinden başlayarak n=5n=5 değerine kadar yazalım.
n=1n=1 için: a2=12⋅a1a_2 = \frac{1}{2} \cdot a_1
n=2n=2 için: a3=23⋅a2a_3 = \frac{2}{3} \cdot a_2
n=3n=3 için: a4=34⋅a3a_4 = \frac{3}{4} \cdot a_3
n=4n=4 için: a5=45⋅a4a_5 = \frac{4}{5} \cdot a_4
n=5n=5 için: a6=56⋅a5a_6 = \frac{5}{6} \cdot a_5
İstenen terim olan a6a_6'ya ulaşmak için ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmamız gerekir.
2
Elde edilen bu eşitlikleri taraf tarafa çarpalım.
a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6=(12⋅23⋅34⋅45⋅56)⋅(a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5)a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5 \cdot a_6 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6}\right) \cdot (a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \cdot a_5)
Çarpımsal indirgemeli dizilerde terimleri sadeleştirmek için taraf tarafa çarpma yöntemi (teleskopik çarpım) kullanılır.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak terimleri (a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5) ve rasyonel sayıların pay ve paydalarındaki ortak çarpanları sadeleştirelim.
a6=16⋅a1a_6 = \frac{1}{6} \cdot a_1
Sadeleştirmeler sonucunda dizinin altıncı terimi ile birinci terimi arasında doğrudan bir ilişki kalır.
4
a1=12a_1 = 12 değerini yerine yazarak a6a_6 değerini hesaplayalım.
a6=16⋅12=2a_6 = \frac{1}{6} \cdot 12 = 2
Başlangıç koşulu kullanılarak aranan terimin sayısal değeri bulunur.

Anahtar Kavram

Çarpımsal indirgemeli dizilerde teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemi kullanılarak genel terim veya belirli bir terim elde edilir.
Soru 3Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+n+2a_{n+1} = a_n + n + 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

a1=3a_1 = 3 olduğuna göre, a5a_5 teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 21

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan a5a_5 değeri 21'dir.
Verilen indirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,31, 2, 3 ve 44 yazıldığında elde edilen denklemler taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir ve a5=a1+3+4+5+6a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6 bağıntısına ulaşılır. a1=3a_1 = 3 olduğundan, a5=3+18=21a_5 = 3 + 18 = 21 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,31, 2, 3 ve 44 yazılır.
a2=a1+3a_2 = a_1 + 3, a3=a2+4a_3 = a_2 + 4, a4=a3+5a_4 = a_3 + 5 ve a5=a4+6a_5 = a_4 + 6 denklemleri elde edilir.
İlk terimden başlanarak ardışık terimler arasındaki ilişkileri kurmak amacıyla bu adımlar uygulanır.
2
Elde edilen denklemler taraf tarafa toplanarak ortak terimler sadeleştirilir.
a5=a1+3+4+5+6a_5 = a_1 + 3 + 4 + 5 + 6 eşitliği elde edilir.
Teleskopik sadeleştirme yöntemiyle aradaki terimleri tek tek hesaplamadan doğrudan a5a_5 terimine ulaşmak hedeflenir.
3
a1=3a_1 = 3 değeri denklemde yerine yazılır ve toplama işlemi tamamlanır.
a5=3+18=21a_5 = 3 + 18 = 21 bulunur.
a5a_5 teriminin nihai sayısal değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde terimler arası geçiş ve teleskopik (zincirleme) toplama yöntemi.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinin terimleri arasında, a1=2a_1 = 2 başlangıç koşulu ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n+1n⋅an+n+1a_{n+1} = \frac{n+1}{n} \cdot a_n + n + 1
indirgeme bağıntısı bulunmaktadır.

Buna göre, bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 156

Cevap

Bu dizinin 12. terimi olan a12a_{12} değeri 156'dır.
Verilen bağıntıda her iki tarafı n+1n+1 ifadesine böldüğümüzde an+1n+1=ann+1\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1 elde ederiz. Buradan bn=annb_n = \frac{a_n}{n} dönüşümü yapıldığında bn+1=bn+1b_{n+1} = b_n + 1 aritmetik dizisi oluşur. b1=2b_1 = 2 olduğuna göre genel terim bn=n+1b_n = n+1 olur. Buradan an=n(n+1)a_n = n(n+1) genel terimine ulaşılır ve a12=12⋅13=156a_{12} = 12 \cdot 13 = 156 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntının her iki tarafını n+1n+1 ile bölmek.
an+1n+1=ann+1\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + 1
Dizideki indisli terimlerin katsayılarını eşitleyerek ortak bir form oluşturmak.
2
bn=annb_n = \frac{a_n}{n} değişken değiştirmesi yapmak.
bn+1=bn+1b_{n+1} = b_n + 1
İndirgemeli diziyi kolayca çözülebilen birinci dereceden bir aritmetik dizi biçimine dönüştürmek.
3
Yeni bnb_n dizisinin ilk terimi b1b_1 değerini hesaplamak.
b1=a11=2b_1 = \frac{a_1}{1} = 2
Aritmetik dizinin genel terimini yazabilmek için başlangıç değerini belirlemek.
4
bnb_n aritmetik dizisinin genel terimini elde etmek.
bn=n+1b_n = n + 1
İlk terimi 2 ve ortak farkı 1 olan dizinin kuralını oluşturmak.
5
ana_n dizisinin genel terimini yalnız bırakarak bulmak.
an=n(n+1)a_n = n(n + 1)
bn=annb_n = \frac{a_n}{n} tanımından yararlanarak asıl dizinin kuralına geri dönmek.
6
Genel terimde n=12n = 12 yazarak sonucu bulmak.
a12=12⋅13=156a_{12} = 12 \cdot 13 = 156
İstenen 12. terimin sayısal değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun değişken değiştirme (oranlama) yöntemiyle genel terim elde etme.
Soru 5Soru →

a1=4a_1 = 4 olmak üzere, pozitif tam sayılar kümesinde tanımlı (an)(a_n) dizisi için her n≥1n \geq 1 için

an+1=an+na_{n+1} = a_n + n

bağıntısı veriliyor. Buna göre, bu dizinin dördüncü terimi olan a4a_4 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 10

Cevap

Dizinin dördüncü terimi 10 olarak bulunur.
Verilen an+1=an+na_{n+1} = a_n + n bağıntısında sırasıyla n=1n=1 için a2=5a_2 = 5, n=2n=2 için a3=7a_3 = 7 ve n=3n=3 için a4=10a_4 = 10 değerleri elde edilir. Dolayısıyla doğru değer 10'dur.

Adım Adım Çözüm

1
n=1n=1 için indirgeme bağıntısını uygulayarak ikinci terimi bulunuz.
a2=a1+1=4+1=5a_2 = a_1 + 1 = 4 + 1 = 5 olur.
Bir sonraki terime geçebilmek için başlangıç terimini ve birinci adımı kullanmamız gerekir.
2
n=2n=2 için indirgeme bağıntısını uygulayarak üçüncü terimi bulunuz.
a3=a2+2=5+2=7a_3 = a_2 + 2 = 5 + 2 = 7 olur.
Dördüncü terime ulaşmak için ardışık adımları izlemeye devam etmemiz gerekir.
3
n=3n=3 için indirgeme bağıntısını uygulayarak dördüncü terimi bulunuz.
a4=a3+3=7+3=10a_4 = a_3 + 3 = 7 + 3 = 10 olur.
Dizinin istenen dördüncü terimi a4a_4 olduğundan, n=3n=3 değeriyle son adımı tamamlarız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde verilen başlangıç koşulu kullanılarak sonraki terimler adım adım elde edilir.

Alternatif Yöntem

Bağıntıyı taraf tarafa toplayarak da çözebiliriz:

a2−a1=1a_2 - a_1 = 1
a3−a2=2a_3 - a_2 = 2
a4−a3=3a_4 - a_3 = 3

Bu eşitlikleri taraf tarafa topladığımızda sol taraftaki a2a_2 ve a3a_3 terimleri birbirini götürür:

a4−a1=1+2+3a_4 - a_1 = 1 + 2 + 3
a4−4=6⇒a4=10a_4 - 4 = 6 \Rightarrow a_4 = 10 elde edilir.
Tahmini Süre:45s
Soru 6Soru →
İlk terimi a1=2a_1 = 2 olan bir (an)(a_n) dizisinin ardışık terimleri arasındaki ilişki, n≥1n \geq 1 olmak üzere
an+1=n+2n⋅ana_{n+1} = \frac{n+2}{n} \cdot a_n
bağıntısıyla verilmektedir.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 440

Cevap

Dizinin ilk 10 teriminin toplamı 440'tır.
Verilen bağıntı an+1an=n+2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{n} olarak düzenlenip n=1n=1'den n=9n=9'a kadar çarpıldığında a10=10⋅112a1a_{10} = \frac{10 \cdot 11}{2} a_1 elde edilir. Buradan genel terim ak=k(k+1)a_k = k(k+1) olarak bulunur. Terimlerin toplamı olan 2+6+12+⋯+1102 + 6 + 12 + \dots + 110 ifadesi toplandığında 440 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleme
an+1an=n+2n\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+2}{n}
Teleskopik çarpım yöntemini uygulayabilmek için terimleri oran biçiminde yazarız.
2
Taraf tarafa çarpma işlemi
aka1=k(k+1)2\frac{a_k}{a_1} = \frac{k(k+1)}{2}
n=1,2,3,…,k−1n = 1, 2, 3, \dots, k-1 değerleri için eşitlikler yazılıp taraf tarafa çarpıldığında sol tarafta sadeleşmeler olur. Sağ tarafta ise 3/1⋅4/2⋅5/3…3/1 \cdot 4/2 \cdot 5/3 \dots çarpımından ardışık sadeleşmelerle pay kısmında k(k+1)k(k+1), payda kısmında ise 1⋅21 \cdot 2 kalır.
3
Genel terimi bulma
ak=k(k+1)=k2+ka_k = k(k+1) = k^2 + k
a1=2a_1 = 2 başlangıç değeri yerine yazıldığında ak=2⋅k(k+1)2=k(k+1)a_k = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) elde edilir.
4
Toplamı hesaplama
S10=385+55=440S_{10} = 385 + 55 = 440
İlk 10 terimin toplamı ∑k=110(k2+k)=∑k=110k2+∑k=110k\sum_{k=1}^{10} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{10} k^2 + \sum_{k=1}^{10} k formülleriyle hesaplanır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi ve serilerin toplam formüllerinin uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Soru 7Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde a1=4a_1 = 4 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=n+2nan+(n+1)(n+2)⋅2n−1a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + (n+1)(n+2) \cdot 2^{n-1}

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, bu dizinin beşinci terimi olan a5a_5 kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 510

Cevap

Dizinin beşinci terimi olan a5a_5 değeri 510'dur.
Verilen bağıntı (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) ile bölündüğünde an+1(n+1)(n+2)−ann(n+1)=2n−1\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = 2^{n-1} teleskopik yapısı elde edilir. bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü ile b5=b1+15=17b_5 = b_1 + 15 = 17 bulunur. Buradan a5=30⋅b5=510a_5 = 30 \cdot b_5 = 510 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen indirgemeli bağıntının her iki tarafı (n+1)(n+2)(n+1)(n+2) ifadesine bölünerek sadeleştirilir.
an+1(n+1)(n+2)=ann(n+1)+2n−1\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} = \frac{a_n}{n(n+1)} + 2^{n-1}
Bağıntıyı teleskopik (ardışık sadeleşen) bir toplamsal forma dönüştürmek amacıyla paydaları düzenlemek için.
2
bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü tanımlanır ve başlangıç terimi b1b_1 hesaplanır.
bn+1=bn+2n−1b_{n+1} = b_n + 2^{n-1} ve b1=a11⋅2=42=2b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{4}{2} = 2 elde edilir.
Diziyi toplamsal indirgeme modeliyle ifade edip çözümü basitleştirmek için.
3
bn+1−bn=2n−1b_{n+1} - b_n = 2^{n-1} bağıntısında n=1,2,3,4n = 1, 2, 3, 4 değerleri yazılarak taraf tarafa toplanır.
b5−b1=20+21+22+23=1+2+4+8=15b_5 - b_1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 ve buradan b5=2+15=17b_5 = 2 + 15 = 17 bulunur.
Teleskopik toplam yöntemiyle b5b_5 değerini doğrudan bulmak için.
4
b5=a55⋅6b_5 = \frac{a_5}{5 \cdot 6} eşitliğinden faydalanılarak a5a_5 çekilir.
a5=30⋅b5=30⋅17=510a_5 = 30 \cdot b_5 = 30 \cdot 17 = 510 elde edilir.
Dönüşüm tanımını kullanarak orijinal dizinin terimini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpanla bölme yoluyla teleskopik toplamsal form elde etme.
Soru 8Soru →
Pozitif terimli bir (an)(a_n) dizisi, her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an1+4nana_{n+1} = \frac{a_n}{1 + 4n a_n}
indirgeme bağıntısını sağlamaktadır.

a1=15a_1 = \frac{1}{5} olduğuna göre, 1a11\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} ifadesinin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

İfadenin değeri 15'tir.
Verilen rasyonel indirgeme bağıntısında bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} dönüşümü yapıldığında ardışık terimler arasındaki fark bn+1−bn=4nb_{n+1} - b_n = 4n olarak elde edilir. Bu farkların n=1n=1'den 1010'a kadar olan toplamı teleskopik sadeleştirme ile b11−b1=220b_{11} - b_1 = 220 sonucunu verir. b1=5b_1 = 5 değeri yerine yazıldığında b11=225b_{11} = 225 bulunur. Buradan 1a11=b11=225=15\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = \sqrt{b_{11}} = \sqrt{225} = 15 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Dizideki indirgeme bağıntısını do��rusal hale getirmek için çarpmaya göre ters dönüşüm yapılması
bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} tanımıyla bn+1=bn+4nb_{n+1} = b_n + 4n elde edilir.
Paydada ana_n terimi bulunan rasyonel bağıntıları daha kolay çözebilmek için bn=1anb_n = \frac{1}{a_n} dönüşümü yapılarak doğrusal bir fark denklemi elde edilir.
2
Ardışık terimlerin farklarının n=1n=1'den n=10n=10'a kadar taraf tarafa toplanması
b11−b1=220b_{11} - b_1 = 220 elde edilir.
Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yöntemiyle ara terimlerin birbirini götürmesini sağlamak ve b11b_{11} ile b1b_1 arasındaki ilişkiyi bulmak amaçlanır.
3
İlk terim yardımıyla b11b_{11} değerinin hesaplanması
b11=225b_{11} = 225 elde edilir.
a1=15a_1 = \frac{1}{5} olarak verildiğinden b1=5b_1 = 5 olur ve bu değer toplama eklenerek b11b_{11} bulunur.
4
İstenen kareköklü ifadenin değerinin bulunması
1a11=15\sqrt{\frac{1}{a_{11}}} = 15 elde edilir.
b11=1a11b_{11} = \frac{1}{a_{11}} olduğu bilindiğinden, bulduğumuz değerin karekökü alınır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (çarpmaya göre tersini alma) ve ardışık terim farklarının teleskopik toplamı yöntemi.
Soru 9Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=34a_1 = \frac{3}{4} ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+1n3+3n2+2na_{n+1} = a_n + \frac{1}{n^3 + 3n^2 + 2n}
bağıntısı sağlanmaktadır.
Buna göre, dizinin genel terimi ana_n olmak üzere,
∑k=11011−ak\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{1 - a_k}
toplamının değeri kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 880

Cevap

İstenen toplamın değeri 880'dir.
Ardışık terimlerin farkı teleskopik biçimde yazılıp taraf tarafa toplandığında genel terim an=1−12n(n+1)a_n = 1 - \frac{1}{2n(n+1)} olarak elde edilir. İstenen toplamda genel terim yerine yazıldığında toplam 2k(k+1)2k(k+1) ifadesinin k=1k=1'den 1010'a kadar olan toplamına dönüşür. Formül uygulandığında sonuç 880 çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki kesrin paydasını çarpanlarına ayırın.
n3+3n2+2n=n(n2+3n+2)=n(n+1)(n+2)n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n+1)(n+2) elde edilir.
Kesirli ifadeyi daha basit terimlere ayırmak için öncelikle paydayı çarpanlarına ayırmamız gerekir.
2
İfadeyi teleskopik sadeleştirmeye uygun olacak şekilde basit kesirlere ayrıştırın.
1n(n+1)(n+2)=12(1n(n+1)−1(n+1)(n+2))\frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right) olarak yazılır.
Ardışık terimlerin farkı biçiminde yazarak taraf tarafa toplama işleminde sadeleşme sağlamak amacıyla bu ayrıştırma yapılır.
3
İndirgeme bağıntısını kullanarak dizinin genel terimi ana_n'i bulun.
an−a1=∑i=1n−1(ai+1−ai)=12∑i=1n−1(1i(i+1)−1(i+1)(i+2))a_n - a_1 = \sum_{i=1}^{n-1} (a_{i+1} - a_i) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n-1} \left( \frac{1}{i(i+1)} - \frac{1}{(i+1)(i+2)} \right)
an−a1=12(12−1n(n+1))=14−12n(n+1)a_n - a_1 = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{n(n+1)} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2n(n+1)}
a1=34a_1 = \frac{3}{4} değeri yerine yazıldığında:
an=1−12n(n+1)a_n = 1 - \frac{1}{2n(n+1)} elde edilir.
Başlangıç koşulunu kullanarak dizinin her nn pozitif tam sayısı için geçerli olan genel terim formülünü üretmek için.
4
İstenen toplam sembolündeki genel terimi yerine yazarak sonucu hesaplayın.
1−ak=12k(k+1)⇒11−ak=2k(k+1)1 - a_k = \frac{1}{2k(k+1)} \Rightarrow \frac{1}{1-a_k} = 2k(k+1)
∑k=1102k(k+1)=2∑k=110k(k+1)\sum_{k=1}^{10} 2k(k+1) = 2 \sum_{k=1}^{10} k(k+1)
Ardışık çarpım toplam formülü ∑k=1nk(k+1)=n(n+1)(n+2)3\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3} kullanılarak:
2⋅10⋅11⋅123=2⋅440=8802 \cdot \frac{10 \cdot 11 \cdot 12}{3} = 2 \cdot 440 = 880 bulunur.
Elde edilen genel terimi istenen matematiksel ifadede yerine koyup bilinen toplam formülleri yardımıyla sonucu bulmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yardımıyla genel terim bulma ve ardışık terimlerin toplam formüllerini uygulama.
Soru 10Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n⋅an+2n−2n+1a_{n+1} = \frac{n \cdot a_n + 2n - 2}{n+1}
indirgeme bağıntısı tanımlanmıştır.
Buna göre, bu dizinin otuzuncu terimi olan a30a_{30} değeri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 81730\frac{817}{30}

Cevap

Dizinin otuzuncu terimi olan 817/30 değeridir.
Dizinin terimleri arasındaki ilişkiyi (n+1)an+1−nan=2n−2(n+1)a_{n+1} - na_n = 2n-2 şeklinde yazıp taraf tarafa topladığımızda genel terim an=n2−3n+7na_n = \frac{n^2 - 3n + 7}{n} olarak bulunur. Bu genel terimde n=30n = 30 yazıldığında 81730\frac{817}{30} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenlemek için her iki tarafı n+1n+1 ile çarparız.
(n+1)an+1=nan+2n−2(n+1)a_{n+1} = n a_n + 2n - 2 elde edilir.
Ardışık terimleri birbiri cinsinden yazıp teleskopik toplam elde etmek için.
2
bn=nanb_n = n a_n değişken değiştirmesini tanımlarız.
bn+1=bn+2n−2b_{n+1} = b_n + 2n - 2 bağıntısı elde edilir.
Bağıntıyı daha basit bir birinci dereceden fark denklemine dönüştürmek için.
3
bnb_n dizisinin genel terimini bulmak için terimleri n=1n=1'den n−1n-1'e kadar yazar ve taraf tarafa toplarız.
bn=b1+∑k=1n−1(2k−2)b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k - 2) ve b1=1⋅a1=5b_1 = 1 \cdot a_1 = 5 olduğundan bn=5+n2−3n+2=n2−3n+7b_n = 5 + n^2 - 3n + 2 = n^2 - 3n + 7 bulunur.
Aritmetik toplam formüllerini uygulayarak bnb_n ifadesini kapalı formda yazmak için.
4
bn=nanb_n = n a_n tanımından faydalanarak ana_n genel terimini bulur ve n=30n=30 değerini yerine yazarız.
an=n2−3n+7na_n = \frac{n^2 - 3n + 7}{n} olduğundan a30=302−3(30)+730=81730a_{30} = \frac{30^2 - 3(30) + 7}{30} = \frac{817}{30} olarak elde edilir.
Bizden istenen 30. terimin değerini hesaplamak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme ve teleskopik toplam yöntemiyle genel terim bulma.
Soru 11Soru →

(an)(a_n) gerçel sayı dizisinin ilk terimi a1=2a_1 = 2 olup her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1=an+2n+1n2(n+1)2a_{n+1} = a_n + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, genel terimi bn=13−anb_n = \frac{1}{3 - a_n} olan (bn)(b_n) dizisinin ilk 9 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 285

Cevap

285
Verilen indirgemeli dizinin genel terimi teleskopik toplam yöntemiyle an=3−1n2a_n = 3 - \frac{1}{n^2} olarak bulunur. Bu ifade bnb_n dizisinin tanımında yerine konulduğunda bn=n2b_n = n^2 elde edilir. İlk 9 terimin toplamı olan ∑n=19n2\sum_{n=1}^9 n^2 ifadesi de kareler toplamı formülüyle 285 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki terimi teleskopik toplam oluşturacak şekilde düzenleme
an+1−an=1n2−1(n+1)2a_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}
Ardışık terimler arasındaki farkı sadeleşebilir (teleskopik) biçimde yazarak ana_n genel terimine ulaşmak.
2
nn yerine 11 ve n−1n-1 arasındaki tam sayıları yazarak taraf tarafa toplama
an−a1=(112−122)+(122−132)+⋯+(1(n−1)2−1n2)=1−1n2a_n - a_1 = \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2}\right) + \left(\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2}\right) + \dots + \left(\frac{1}{(n-1)^2} - \frac{1}{n^2}\right) = 1 - \frac{1}{n^2}
Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskopik sadeleşme) sağlayarak ana_n ile a1a_1 arasındaki ilişkiyi bulmak.
3
Verilen a1=2a_1 = 2 ilk terim değerini yerine yazarak ana_n dizisinin genel terimini belirleme
an=3−1n2a_n = 3 - \frac{1}{n^2}
Dizinin genel terimini bularak bnb_n dizisini tanımlayabilmek.
4
bnb_n dizisinin genel terimini elde etme
bn=13−(3−1n2)=n2b_n = \frac{1}{3 - \left(3 - \frac{1}{n^2}\right)} = n^2
bnb_n dizisinin genel terimini nn cinsinden ifade etmek.
5
(bn)(b_n) dizisinin ilk 9 teriminin toplamını hesaplama
∑n=19bn=12+22+⋯+92=9⋅10⋅196=285\sum_{n=1}^{9} b_n = 1^2 + 2^2 + \dots + 9^2 = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6} = 285
İlk nn kare toplamı formülü olan n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} ifadesini n=9n=9 için kullanmak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak genel terimin bulunması
Soru 12Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=1a_1 = 1 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=n⋅an+1n+2a_{n+1} = \frac{n \cdot a_n + 1}{n+2}
indirgeme bağıntısı tan��mlanıyor.

Buna göre, bu dizinin ilk 10 teriminin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6511\frac{65}{11}

Cevap

İlk 10 terimin toplamı olan 65/11 değeri
Verilen indirgemeli bağıntı düzenlenip her iki taraf n+1n+1 ile çarpıldığında, bn=n(n+1)anb_n = n(n+1)a_n dönüşümü yardımıyla teleskopik bir fark bağıntısı elde edilir. Buradan genel terim ak=1/2+1/(k(k+1))a_k = 1/2 + 1/(k(k+1)) olarak bulunur. İlk 10 terim toplandığında ise sabit terimlerin toplamından 5, teleskopik toplamdan ise 1−1/11=10/111 - 1/11 = 10/11 gelir. Bu iki değerin toplamı 65/11 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleyip her iki tarafı n+1n+1 ile çarpmak.
(n+1)(n+2)an+1=n(n+1)an+(n+1)(n+1)(n+2)a_{n+1} = n(n+1)a_n + (n+1)
Eşitliğin sol ve sağ taraflarında benzer indis yapıları elde ederek teleskopik forma dönüştürmek.
2
bn=n(n+1)anb_n = n(n+1)a_n dönüşümü yapmak.
bn+1=bn+n+1  ⟹  bn+1−bn=n+1b_{n+1} = b_n + n + 1 \implies b_{n+1} - b_n = n + 1
Karmaşık bağıntıyı daha kolay çözülebilen birinci dereceden bir fark denklemine indirgemek.
3
bn+1−bn=n+1b_{n+1} - b_n = n + 1 bağıntısında n=1n=1'den k−1k-1'e kadar değerler yazıp taraf tarafa toplamak.
bk=k(k+1)2+1b_k = \frac{k(k+1)}{2} + 1
bkb_k genel terimini b1b_1 cinsinden hesaplamak.
4
aka_k terimini yalnız bırakıp ilk 10 terimin toplamını hesaplamak.
∑k=110ak=6511\sum_{k=1}^{10} a_k = \frac{65}{11}
Genel terimdeki kesirli ifadeyi basit kesirlere ayırarak teleskopik toplamı uygulamak.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan yardımıyla teleskopik toplam veya çarpım formuna ulaşılarak genel terimin elde edilmesi.
Soru 13Soru →

Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=1a_1 = 1 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

n⋅an+1−(n+2)⋅an=2n \cdot a_{n+1} - (n+2) \cdot a_n = 2

bağıntısı sağlanmaktadır.

Buna göre, a30a_{30} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 929

Cevap

Doğru cevap 929'dur.
Verilen bağıntı her iki tarafı n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) ifadesine bölünerek teleskobik bir fark bağıntısına dönüştürülür. bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümüyle elde edilen bn+1−bn=1n(n+1)−1(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} eşitliği n=1n=1 ile n=29n=29 arasında toplandığında aradaki terimler sadeleşir. Başlangıç koşulu a1=1a_1 = 1 kullanılarak genel terim an=n(n+1)−1a_n = n(n+1) - 1 olarak elde edilir. Buradan a30=30⋅31−1=929a_{30} = 30 \cdot 31 - 1 = 929 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bağıntıyı n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2) ile bölerek teleskobik biçime hazırlamak
an+1(n+1)(n+2)−ann(n+1)=2n(n+1)(n+2)\frac{a_{n+1}}{(n+1)(n+2)} - \frac{a_n}{n(n+1)} = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}
Ardışık terimler arasında ortak paydalar oluşturarak sadeleştirme yapmak
2
bn=ann(n+1)b_n = \frac{a_n}{n(n+1)} dönüşümü tanımlamak
bn+1−bn=2n(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{2}{n(n+1)(n+2)}
Bağıntıyı birinci dereceden doğrusal bir indirgemeli dizi biçimine indirgemek
3
Rasyonel ifadeyi basit kesirlerin farkı olarak yazmak
bn+1−bn=1n(n+1)−1(n+1)(n+2)b_{n+1} - b_n = \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)}
Teleskobik toplam yöntemiyle sadeleşebilecek bir yapı elde etmek
4
n=1n=1 ile n=29n=29 arasındaki terimler için taraf tarafa toplama yapmak
b30−b1=12−130⋅31b_{30} - b_1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{30 \cdot 31}
Ara terimlerin birbirini götürmesini (teleskobik sadeleşme) sağlamak
5
b1=12b_1 = \frac{1}{2} başlangıç değerini kullanarak b30b_{30} terimini bulmak
b30=1−130⋅31b_{30} = 1 - \frac{1}{30 \cdot 31}
a1=1a_1 = 1 olduğu için b1=a11⋅2=12b_1 = \frac{a_1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} elde edilir ve yerine yazılır
6
b30b_{30} tanımından yararlanarak a30a_{30} değerini hesaplamak
a30=929a_{30} = 929
b30=a3030⋅31b_{30} = \frac{a_{30}}{30 \cdot 31} bağıntısında paydaları eşitleyip sadeleştirerek sonuca ulaşmak

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde uygun bir çarpan/bölen (bütünleştirici faktör) kullanarak teleskobik toplam oluşturma
Soru 14Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=4a_1 = 4 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+3n−2a_{n+1} = a_n + 3n - 2
indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, a20a_{20} teriminin değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 536

Cevap

Dizinin yirminci terimi 536'dır.
Verilen indirgeme bağıntısında terimler an+1−an=3n−2a_{n+1} - a_n = 3n - 2 şeklinde düzenlenip 11'den 1919'a kadar olan nn değerleri için yazılıp toplandığında, sol tarafta a1a_1 dışındaki ara terimler birbirini götürür. Sağ taraftaki aritmetik toplam 532532 olarak hesaplanır ve başlangıç değeri olan a1=4a_1 = 4 eklendiğinde doğru sonuç 536 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını düzenleme ve taraf tarafa toplama hazırlığı
an+1−an=3n−2a_{n+1} - a_n = 3n - 2 bağıntısında nn yerine 11 ile 1919 arasındaki tam sayıları yazarız.
Teleskobik (birbirini götüren) toplam elde etmek için.
2
Taraf tarafa toplama işlemini gerçekleştirme
a20−a1=∑n=119(3n−2)a_{20} - a_1 = \sum_{n=1}^{19} (3n - 2)
Dizinin terimlerinin birbirini sadeleştirmesiyle doğrudan a20a_{20} ve a1a_1 terimlerine ulaşmak için.
3
Toplam formülünü kullanarak sağ tarafı hesaplama
3⋅19⋅202−38=570−38=5323 \cdot \frac{19 \cdot 20}{2} - 38 = 570 - 38 = 532
Ardışık sayıların toplamı ve sabit terim toplamı kurallarını uygulamak için.
4
a1a_1 değerini yerine yazarak a20a_{20} terimini bulma
a20−4=532  ⟹  a20=536a_{20} - 4 = 532 \implies a_{20} = 536
Verilen başlangıç koşulunu kullanarak bilinmeyen terimi yalnız bırakmak için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskobik toplam yöntemi
Soru 15Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=an+(−1)n⋅na_{n+1} = a_n + (-1)^n \cdot n
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.
Buna göre, bu dizinin 50. terimi olan a50a_{50} kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -20

Cevap

-20
Verilen indirgeme bağıntısında terimler yalnız bırakılıp taraf tarafa toplandığında a50−a1=−25a_{50} - a_1 = -25 eşitliği elde edilir. Burada ilk terim olan 55 değeri yerine yazıldığında a50=−20a_{50} = -20 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını ardışık terimlerin farkı şeklinde yazın.
an+1−an=(−1)n⋅na_{n+1} - a_n = (-1)^n \cdot n
Teleskobik (zincirleme) sadeleştirme yapabilmek için terimleri bir tarafa toplarız.
2
nn değişkenine 1'den 49'a kadar olan tam sayı değerlerini sırayla vererek denklemleri yazın.
n=1  ⟹  a2−a1=−1n=1 \implies a_2 - a_1 = -1
n=2  ⟹  a3−a2=2n=2 \implies a_3 - a_2 = 2
n=3  ⟹  a4−a3=−3n=3 \implies a_4 - a_3 = -3
n=4  ⟹  a5−a4=4n=4 \implies a_5 - a_4 = 4
...
n=49  ⟹  a50−a49=−49n=49 \implies a_{50} - a_{49} = -49
a50a_{50} terimine ulaşmak için nn'in sınır değerlerini belirleriz.
3
Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayın.
a50−a1=−1+2−3+4−5+6−⋯−49a_{50} - a_1 = -1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - \dots - 49
Sol taraftaki ara terimler birbirini sadeleştirir ve geriye yalnızca a50a_{50} ve a1a_1 kalır.
4
Sağ taraftaki ardışık terimleri ikişerli gruplayarak toplamı hesaplayın.
(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−47+48)−49=24⋅1−49=−25(-1 + 2) + (-3 + 4) + \dots + (-47 + 48) - 49 = 24 \cdot 1 - 49 = -25
Toplamda 1'den 48'e kadar olan sayılardan oluşan 24 adet grup vardır ve her grubun toplamı 1'dir. Sondaki -49 terimi gruptan hariç tutulur.
5
a1=5a_1 = 5 değerini yerine yazarak a50a_{50} değerini bulun.
a50−5=−25  ⟹  a50=−20a_{50} - 5 = -25 \implies a_{50} = -20
Bulunan fark değerine ilk terim eklenerek hedef terim hesaplanır.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde terim farklarının teleskobik toplam yöntemi kullanılarak belirli bir terimin değerinin bulunması.

Alternatif Yöntem

Dizinin genel terimini tek ve çift indisler için ayrı ayrı formülize ederek de sonuca ulaşabiliriz. nn tek sayı iken ana_n terimleri ile nn çift sayı iken ana_n terimleri arasındaki örüntü incelendiğinde, çift indisler için a2k=5−ka_{2k} = 5 - k genel terimi elde edilir. a50a_{50} için 2k=50  ⟹  k=252k = 50 \implies k = 25 yazılırsa, a50=5−25=−20a_{50} = 5 - 25 = -20 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 16Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinde, a2=4a_2 = 4 ve her n≥2n \geq 2 tam sayısı için
an+1=n+1n−1⋅ana_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cdot a_n
indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 10. terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 180

Cevap

Doğru cevap 180'dir.
Teleskopik çarpım yöntemiyle ardışık terimler taraf tarafa çarpılıp sadeleştirildiğinde a10=45⋅a2a_{10} = 45 \cdot a_2 elde edilir. a2=4a_2 = 4 değeri yerine konduğunda doğru sonuç 180 bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen an+1=n+1n−1⋅ana_{n+1} = \frac{n+1}{n-1} \cdot a_n indirgeme ba��ıntısında nn yerine sırasıyla 2,3,4,…,92, 3, 4, \dots, 9 değerleri yazılır.
a3=31a2a_3 = \frac{3}{1} a_2, a4=42a3a_4 = \frac{4}{2} a_3, a5=53a4a_5 = \frac{5}{3} a_4, …\dots, a10=108a9a_{10} = \frac{10}{8} a_9 eşitlikleri elde edilir.
Teleskopik (zincirleme) sadeleştirme yapabilmek için terimler arasındaki geçiş bağıntıları listelenir.
2
Elde edilen tüm eşitlikler taraf tarafa çarpılır.
a3⋅a4⋯a10=(31⋅42⋅53⋯108)a2⋅a3⋯a9a_3 \cdot a_4 \cdots a_{10} = \left(\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdots \frac{10}{8}\right) a_2 \cdot a_3 \cdots a_9 elde edilir.
Çarpımsal olarak verilen ardışık terimlerin sadeleşmesini sağlamak amacıyla taraf tarafa çarpım uygulanır.
3
Eşitliğin her iki tarafındaki ortak a3,a4,…,a9a_3, a_4, \dots, a_9 terimleri sadeleştirilir.
a10=(31⋅42⋅53⋅64⋯97⋅108)a2a_{10} = \left(\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{2} \cdot \frac{5}{3} \cdot \frac{6}{4} \cdots \frac{9}{7} \cdot \frac{10}{8}\right) a_2 kalır.
İndirgemeli dizinin genel terimi ile başlangıç terimi arasındaki ilişkiyi yalnız bırakmak hedeflenir.
4
Kesirlerin çarpımındaki ardışık sadeleştirmeler yapılır.
Pay kısmında son iki terim (99 ve 1010), payda kısmında ise ilk iki terim (11 ve 22) kalır. Buradan a10=9⋅101⋅2a2=45a2a_{10} = \frac{9 \cdot 10}{1 \cdot 2} a_2 = 45 a_2 elde edilir.
Teleskopik çarpımın sadeleşme kuralına göre pay ve paydada kalan terimler belirlenir.
5
Başlangıç terimi a2=4a_2 = 4 değeri yerine yazılarak a10a_{10} hesaplanır.
a10=45⋅4=180a_{10} = 45 \cdot 4 = 180 bulunur.
Soruda verilen başlangıç değeri kullanılarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Çarpımsal İndirgemeli Dizilerde Teleskopik Çarpım ve Sadeleştirme Yöntemi
Soru 17Soru →

Terimleri arasında a1=3a_1 = 3 başlangıç koşulu ve her n≥1n \geq 1 pozitif tam sayısı için

an+1−an=1n2+na_{n+1} - a_n = \frac{1}{n^2 + n}

bağınt��sı bulunan bir (an)(a_n) dizisi verilmektedir.

Buna göre, a20a_{20} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 7920\frac{79}{20}

Cevap

Dizinin 20. teriminin değeri olan \frac{79}{20} ifadesidir.
Verilen indirgeme bağıntısında 1n2+n\frac{1}{n^2+n} ifadesi 1n−1n+1\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} biçiminde basit kesirlere ayrıştırılır. Ardından n=1n=1 değerinden n=19n=19 değerine kadar terimler yazılıp taraf tarafa toplandığında aradaki terimler sadeleşir (teleskopik toplam) ve a20−a1=1−120=1920a_{20} - a_1 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20} elde edilir. a1=3a_1 = 3 değeri yerine yazılarak a20=3+1920=7920a_{20} = 3 + \frac{19}{20} = \frac{79}{20} bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısındaki rasyonel ifadeyi basit kesirlere ayırın.
1n2+n=1n(n+1)=1n−1n+1\frac{1}{n^2+n} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}
Teleskopik toplam oluşturarak aradaki terimlerin sadeleşmesini sağlamak amacıyla ifadeyi iki kesrin farkı olarak yazarız.
2
n değerlerini 1'den 19'a kadar yazarak taraf tarafa toplayın.
n=1  ⟹  a2−a1=1−12n = 1 \implies a_2 - a_1 = 1 - \frac{1}{2}
n=2  ⟹  a3−a2=12−13n = 2 \implies a_3 - a_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}
⋮\vdots
n=19  ⟹  a20−a19=119−120n = 19 \implies a_{20} - a_{19} = \frac{1}{19} - \frac{1}{20}
a20a_{20} terimine ulaşmak için n=1n=1 ile başlayıp en son n=19n=19 yazarak a20−a19a_{20} - a_{19} terimini elde etmemiz gerekir.
3
Elde edilen denklemleri taraf tarafa toplayarak sadeleştirme işlemini gerçekleştirin.
a20−a1=1−120=1920a_{20} - a_1 = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}
Sol taraftaki a2,a3,…,a19a_2, a_3, \dots, a_{19} terimleri birbirini götürür. Sağ tarafta ise ardışık olarak terimler sadeleşir ve geriye sadece ilk ve son terimler kalır.
4
Başlangıç koşulu olan a1=3a_1 = 3 değerini yerine yazarak a20a_{20} terimini hesaplayın.
a20=a1+1920=3+1920=7920a_{20} = a_1 + \frac{19}{20} = 3 + \frac{19}{20} = \frac{79}{20}
Sadeleşme sonrası kalan denklemde bilinmeyen olan a20a_{20} değerini yalnız bırakıp bilinen başlangıç değerini ekleyerek sonuca ulaşırız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam yöntemi kullanılarak terimlerin belirlenmesi.
Soru 18Soru →
Bir (an)(a_n) gerçel sayı dizisinde, a1=6a_1 = 6 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için
an+1=nn+2⋅ana_{n+1} = \frac{n}{n+2} \cdot a_n
indirgeme bağıntısı tanımlanıyor.

Buna göre, 1a15\frac{1}{a_{15}} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

İstenen değer 20 olarak bulunur.
İndirgemeli dizide ardışık terimlerin oranı teleskopik çarpım yöntemiyle sadeleştirildiğinde, a1=6a_1 = 6 başlangıç koşulu yardımıyla a15=120a_{15} = \frac{1}{20} olarak elde edilir. Bu değerin çarpmaya göre tersi alındığında doğru sonuç 20 olur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısında nn yerine sırasıyla 1,2,3,…,141, 2, 3, \dots, 14 yazarak terimler arasındaki ilişkileri belirleyin.
n=1n=1 için a2=13a1a_2 = \frac{1}{3} a_1, n=2n=2 için a3=24a2a_3 = \frac{2}{4} a_2, n=3n=3 için a4=35a3a_4 = \frac{3}{5} a_3, …\dots, n=14n=14 için a15=1416a14a_{15} = \frac{14}{16} a_{14} elde edilir.
Dizinin terimlerini birbirine bağlayan eşitlikleri taraf tarafa çarparak teleskopik sadeleştirme yapabilmek için.
2
Elde edilen 14 adet eşitliği taraf tarafa çarpın.
a2⋅a3⋅a4…a15=(13⋅24⋅35…1416)a1⋅a2⋅a3…a14a_2 \cdot a_3 \cdot a_4 \dots a_{15} = \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{3}{5} \dots \frac{14}{16}\right) a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 \dots a_{14} eşitliğinden a2,a3,…,a14a_2, a_3, \dots, a_{14} terimleri sadeleşerek a15=(1⋅215⋅16)a1a_{15} = \left(\frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 16}\right) a_1 elde edilir.
Ardışık terimlerin çarpım durumunda sadeleşmesini (teleskopik çarpım) sağlamak için.
3
Sadeleşme sonucunu düzenleyin ve a1=6a_1 = 6 başlangıç değerini yerine yazarak a15a_{15} değerini hesaplayın.
a15=2240⋅6=1120⋅6=120a_{15} = \frac{2}{240} \cdot 6 = \frac{1}{120} \cdot 6 = \frac{1}{20} bulunur.
a15a_{15} teriminin sayısal değerine ulaşmak için.
4
Bizden istenen 1a15\frac{1}{a_{15}} ifadesinin değerini bulun.
1a15=11/20=20\frac{1}{a_{15}} = \frac{1}{1/20} = 20 bulunur.
Soruda a15a_{15} yerine 1a15\frac{1}{a_{15}} değeri sorulduğu için.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik çarpım yöntemi kullanılarak genel veya belirli bir terimin başlangıç terimi cinsinden bulunması.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 19Soru →
Bir (an)(a_n) dizisinin ilk terimi a1=5a_1 = 5 olarak verilmiştir. Bu dizinin ardışık terimleri, her n∈Z+n \in \mathbb{Z}^+ için
(n+1)an+1−nan=2n(n+1)a_{n+1} - n a_n = 2n
eşitliğini sağlamaktadır.

Buna göre, bu dizinin onuncu terimi olan a10a_{10} değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 192\frac{19}{2}

Cevap

Dizinin onuncu terimi olan 192\frac{19}{2}
Dizinin genel terimini bulmak için bn=n⋅anb_n = n \cdot a_n dönüşümü yapılır. Bu durumda verilen indirgeme bağıntısı bn+1−bn=2nb_{n+1} - b_n = 2n şekline dönüşür. İlk terim b1=1⋅a1=5b_1 = 1 \cdot a_1 = 5 olarak bulunur. Bağıntı n=1n=1 ile n=9n=9 arasındaki değerler için taraf tarafa toplandığında b10=b1+∑k=192k=5+90=95b_{10} = b_1 + \sum_{k=1}^{9} 2k = 5 + 90 = 95 elde edilir. Buradan 10⋅a10=95  ⟹  a10=9510=19210 \cdot a_{10} = 95 \implies a_{10} = \frac{95}{10} = \frac{19}{2} sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
bn=n⋅anb_n = n \cdot a_n değişken dönüşümünün tanımlanması ve başlangıç koşulunun belirlenmesi
bn+1−bn=2nb_{n+1} - b_n = 2n ve b1=5b_1 = 5 elde edilir.
Katsayısı değişken olan terimleri sadeleştirmek ve indirgeme bağıntısını daha basit bir forma getirmek için bu dönüşüm uygulanır.
2
nn değerlerine 1'den 9'a kadar değerler verilerek elde edilen eşitliklerin taraf tarafa toplanması
b10−b1=∑k=192k=2⋅9⋅102=90b_{10} - b_1 = \sum_{k=1}^{9} 2k = 2 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} = 90 olur.
Teleskobik toplam (birbirini götüren terimler) yöntemiyle doğrudan b10b_{10} terimine ulaşmak hedeflenir.
3
b10b_{10} değerinin hesaplanması ve orijinal dizi terimi a10a_{10}'a geri dönülmesi
b10=95  ⟹  10⋅a10=95  ⟹  a10=192b_{10} = 95 \implies 10 \cdot a_{10} = 95 \implies a_{10} = \frac{19}{2} olarak bulunur.
b10=10⋅a10b_{10} = 10 \cdot a_{10} eşitliği kullanılarak aranan a10a_{10} terimi elde edilir.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde değişken değiştirme (bn=n⋅anb_n = n \cdot a_n) yardımıyla bağıntının basitleştirilmesi ve teleskobik toplam yöntemiyle terim hesabı.
Soru 20Soru →

Bir (an)(a_n) dizisinde, a1=5a_1 = 5 ve her n≥1n \geq 1 tam sayısı için

an+1−an=n⋅n!a_{n+1} - a_n = n \cdot n!

indirgeme bağıntısı verilmiştir.

Buna göre, bu dizinin 6. terimi olan a6a_6 değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 724

Cevap

İndirgemeli dizinin ardışık farkları toplanarak elde edilen teleskopik toplam sonucunda dizinin 6. terimi 724 olarak bulunur.
Ardışık terimlerin farkları olan an+1−an=n⋅n!a_{n+1} - a_n = n \cdot n! bağıntısı n=1,2,3,4,5n = 1, 2, 3, 4, 5 için taraf tarafa toplandığında a6−a1=719a_6 - a_1 = 719 elde edilir. Buradan a1=5a_1 = 5 değeri eklenerek a6=724a_6 = 724 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İndirgeme bağıntısını n=1n = 1 ile n=5n = 5 arasındaki tam sayılar için tek tek yazın.
a2−a1=1⋅1!a_2 - a_1 = 1 \cdot 1!, a3−a2=2⋅2!a_3 - a_2 = 2 \cdot 2!, a4−a3=3⋅3!a_4 - a_3 = 3 \cdot 3!, a5−a4=4⋅4!a_5 - a_4 = 4 \cdot 4!, a6−a5=5⋅5!a_6 - a_5 = 5 \cdot 5!
a6a_6 değerini elde edebilmek için son indirgeme adımında sol tarafta a6a_6 teriminin oluşması gerekir.
2
Elde edilen 5 adet denklemi taraf tarafa toplayın.
a6−a1=1⋅1!+2⋅2!+3⋅3!+4⋅4!+5⋅5!a_6 - a_1 = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + 4 \cdot 4! + 5 \cdot 5!
Taraf tarafa toplama yapıldığında a2,a3,a4,a5a_2, a_3, a_4, a_5 terimleri birbirini sadeleştirir.
3
Sağ taraftaki faktöriyelli çarpımların değerlerini hesaplayıp toplayın.
1⋅1=11 \cdot 1 = 1, 2⋅2=42 \cdot 2 = 4, 3⋅6=183 \cdot 6 = 18, 4⋅24=964 \cdot 24 = 96, 5⋅120=6005 \cdot 120 = 600 olup toplam 1+4+18+96+600=7191 + 4 + 18 + 96 + 600 = 719 bulunur.
Her bir terimin sayısal değerini bulup toplayarak ardışık terimlerin farklarının toplamını belirleriz.
4
a1=5a_1 = 5 başlangıç koşulunu kullanarak a6a_6 değerini hesaplayın.
a6−5=719  ⟹  a6=724a_6 - 5 = 719 \implies a_6 = 724
Teleskopik toplam denkleminde bilinen a1a_1 değerini yerine yazarak bilinmeyen a6a_6 terimini yalnız bırakırız.

Anahtar Kavram

İndirgemeli dizilerde teleskopik toplam ve faktöriyel içeren terimlerin sadeleştirilmesi
Sayfa 1 / 2Sonraki
İndirgemeli Diziler Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) | Examkin