Koşullu Olasılık Alıştırma Soruları — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi) — Sayfa 2

Soru 21Soru →

Bir kahve dükkanında bir gün boyunca sipariş veren $55$ müşterinin tercih ettikleri kahve türü (sıcak veya soğuk) ile ödeme yöntemi (nakit veya kredi kartı) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Ödeme Yöntemi	Sıcak Kahve	Soğuk Kahve
Nakit	$15$	$10$
Kredi Kartı	$12$	$18$

Bu müşteriler arasından rastgele seçilen birinin kredi kartı ile ödeme yaptığı bilindiğine göre, bu kişinin soğuk kahve sipariş etmiş olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

Seçilen müşterinin soğuk kahve sipariş etmiş olma olasılığı \frac{3}{5} (veya 0,6) olarak bulunur.

Kredi kartı ile ödeme yapan

30

kişi arasından soğuk kahve sipariş eden

18

kişi seçileceğinden koşullu olasılık

\frac{18}{30} = \frac{3}{5}

(yani

0,6

) olur.

Adım Adım Çözüm

1

Kredi kartı ile ödeme yapan toplam müşteri sayısını bulunuz.

30

Koşullu olasılıkta örnek uzay, verilen koşula göre kısıtlanır. Burada koşul, müşterinin kredi kartı ile ödeme yapmış olmasıdır.

2

Kredi kartı ile ödeme yapanlar arasından soğuk kahve sipariş edenlerin sayısını bulunuz.

18

İstenen olayın (soğuk kahve siparişi) bu kısıtlanmış örnek uzay içindeki eleman sayısı belirlenmelidir.

3

Kısıtlanmış örnek uzaydaki istenen durum sayısını, kısıtlanmış örnek uzayın toplam eleman sayısına oranlayınız.

\frac{18}{30} = \frac{3}{5}

Koşullu olasılık formülü

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Soru 22Soru →

$E$ örnek uzayında iki olay $A$ ve $B$ olmak üzere,

P(A') = \frac{3}{5}

P(B) = \frac{1}{2}

P(A' \cup B') = \frac{7}{10}

olduğu biliniyor.

Buna göre, $B$ olayının gerçekleştiği bilindiğine göre $A$ olayının gerçekleşme olasılığı olan $P(A|B)$ değeri kaçtır?

\frac{3}{10}

\frac{3}{5}

\frac{3}{4}

\frac{3}{20}

\frac{2}{5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{5}$

Cevap

Üç bölü beş

Verilen De Morgan eşitliğinden yola çıkarak

A

ile

B

olaylarının kesişim olasılığı

P(A \cap B) = 1 - P(A' \cup B') = \frac{3}{10}

olarak bulunur.

B

olayının gerçekleştiği bilindiğine göre

A

olayının olasılığı, kesişim olasılığının

B

olayının olasılığına bölünmesiyle elde edilir. Buradan

\frac{3/10}{1/2} = \frac{3}{5}

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

De Morgan kuralını kullanarak kesişim olayının olasılığını hesaplama

P(A \cap B) = \frac{3}{10}

P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = \frac{7}{10}

olduğundan, tümleyen olasılığı kuralı gereği

P(A \cap B) = 1 - P((A \cap B)') = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}

bulunur.

2

Koşullu olasılık formülünü yazıp değerleri yerine yerleştirme

P(A|B) = \frac{3}{5}

B

koşulu altında

A

olayının olasılığı

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

formülü ile hesaplanır. Bulunan

P(A \cap B) = \frac{3}{10}

ve verilen

P(B) = \frac{1}{2}

değerleri yerine yazıldığında

P(A|B) = \frac{3/10}{1/2} = \frac{3}{10} \times 2 = \frac{3}{5}

elde edilir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Kümeler Kuramı İlişkisi

Soru 23Soru →

Bir yazılım ��irketinde geliştirilen projelerin $\%80$ 'ini kıdemli yazılımcılar, geri kalanını ise stajyer yazılımcılar kodlamaktadır. Kıdemli yazılımcıların yazdığı projelerin $\%5$ 'inde, stajyer yazılımcıların yazdığı projelerin ise $\%30$ 'unda kod hatası tespit edilmektedir.

Bu şirkette geliştirilen projelerden rastgele seçilen birinde kod hatası tespit edildiğine göre, bu projenin stajyer yazılımcı tarafından yazılmış olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.6

Cevap

Seçilen projenin stajyer yazılımcı tarafından yazılmış olma olasılığ�� 0,6'dır.

Seçilen projenin hatalı olduğu bilindiği için örnek uzayımız hatalı projelerle kısıtlanır. Toplam hata olasılığı

0{}80 \cdot 0{}05 + 0{}20 \cdot 0{}30 = 0{}10

'dur. Bu hatalı projelerden stajyerin yazdığı kısmın olasılığı ise

0{}20 \cdot 0{}30 = 0{}06

'dır. Koşullu olasılık tanımına göre stajyerin hatalı proje yazma olasılığının toplam hata olasılığına oranı

0{}06 / 0{}10 = 0{}6

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Stajyer yazılımcıların proje yazma oranını belirleme

P(\text{Stajyer}) = 0{}20

Toplam proje oranının

\%100

olmasından dolayı, kıdemlilerin

\%80

yazması durumunda stajyerlere

\%20

kalır.

2

Projelerdeki toplam hata oranını bulma

P(\text{Hata}) = 0{}10

Hatalı projeler kıdemli yazılımcılardan (

\%4

) veya stajyer yazılımcılardan (

\%6

) gelebilir; toplam hata oranı bu iki olasılığ��n toplamıdır.

3

Hatalı projeler içinden stajyer yazılımcıya ait olanların oranını hesaplama

P(\text{Stajyer}|\text{Hata}) = 0{}6

Koşul örnek uzayı hatalı projelerle (

0{}10

) sınırlandırdığı için, stajyerin hem yazıp hem hata yaptığı oran (

0{}06

), toplam hata oranına bölünür.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık

Soru 24Soru →

Bir hedefe atış yapan iki okçudan Alper'in hedefi vurma olasılığı $\frac{3}{4}$ , Berk'in hedefi vurma olasılığı ise $\frac{2}{3}$ 'tür. Bu iki okçu hedefe aynı anda birer atış yapıyor.

Hedefin vurulduğu bilindiğine göre, hedefi yalnız Alper'in vurmuş olma olasılığı kaçtır?

\frac{9}{11}

\frac{6}{11}

\frac{3}{11}

\frac{2}{11}

\frac{1}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{3}{11}$

Cevap

Hedefin vurulduğu bilindiğinde yalnız Alper'in vurmuş olma olasılığı

\frac{3}{11}

'dir.

Hedefin vurulduğu bilindiğine göre, örnek uzayımız hedefin vurulduğu durumlar ile sınırlanır. Hedefin vurulma olasılığı

\frac{11}{12}

'dir. Bu koşul altında yalnızca Alper'in vurduğu durumun olasılığı

\frac{3}{12}

olduğundan, istenen koşullu olasılık

\frac{3/12}{11/12} = \frac{3}{11}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Okçuların hedefi vurma ve vuramama olasılıklarını belirleme.

Alper'in hedefi vurma olasılığı

P(A) = \frac{3}{4}

, vuramama olasılığı

P(A') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}

'tür. Berk'in hedefi vurma olasılığı

P(B) = \frac{2}{3}

, vuramama olasılığı

P(B') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

'tür.

Atışlar bağımsız olaylar olduğundan her bir durumun olasılıklarını ayrı ayrı hesaplamak gerekir.

2

Koşul olayı olan 'hedefin vurulması' olasılığını hesaplama.

Hedefin vurulmaması, her iki okçunun da hedefi vuramaması demektir:

P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}

. Buradan hedefin vurulma olasılığı (koşul olayının olasılığı)

P(\text{Vuruldu}) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}

bulunur.

Hedefin vurulduğu bilgisi örnek uzayımızı bu duruma daraltmamızı gerektirir.

3

İstenen olay olan 'yalnız Alper'in hedefi vurması' olasılığını hesaplama.

Yalnız Alper'in vurması, Alper'in vurup Berk'in vuramaması durumudur:

P(A \cap B') = P(A) \times P(B') = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}

'tür.

Koşullu olasılık formülünün pay kısmında yer alan kesişim kümesinin olasılığını belirlemek için.

4

Koşullu olasılık formülünü uygulayarak sonucu bulma.

P(\text{Yalnız Alper} | \text{Vuruldu}) = \frac{P(A \cap B')}{P(\text{Vuruldu})} = \frac{3/12}{11/12} = \frac{3}{11}

bulunur.

İstenen durumun olasılığını, daraltılmış örnek uzayın olasılığına oranlayarak koşullu olasılık değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Koşullu olasılıkta örnek uzayın verilen koşula göre daraltılması ve bağımsız olayların olasılıklarının çarpımı.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 25Soru →

Bir kütüphanedeki kitapların $\%70$ 'i Türkçe, $\%30$ 'u ise yabancı dildedir. Bu kütüphanedeki Türkçe kitapların $\%30$ 'u, yabancı dildeki kitapların ise $\%70$ 'i romandır.

Kütüphaneden rastgele seçilen bir kitabın roman olduğu bilindiğine göre, bu kitabın Türkçe olma olasılığı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0.5

Cevap

Seçilen kitab��n roman olduğu bilindiğine göre, Türkçe olma olasılığı 0,5'tir.

Seçilen kitabın roman olduğu bilindiği için yeni örnek uzayımız kütüphanedeki tüm romanlardan oluşmaktadır. Türkçe romanların oranı %21, yabancı dildeki romanların oranı ise %21'dir. Toplam roman oranı %42 olduğundan, seçilen bir romanın Türkçe olma olasılığı 21/42 = 0,5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Kitapların dillerine göre seçilme olasılıklarını belirleyelim.

Türkçe kitap seçilme olasılığı

P(T) = 0,70

ve yabancı dilde kitap seçilme olasılığı

P(Y) = 0,30

olur.

Kütüphanedeki kitapların %70'inin Türkçe, %30'unun yabancı dilde olduğu belirtilmiştir.

2

Dillerine göre roman olma olasılıklarını yazalım ve kesişim olasılıklarını hesaplayalım.

Türkçe kitaplar içindeki roman oranı

P(R|T) = 0,30

ve yabancı dildeki kitaplar içindeki roman oranı

P(R|Y) = 0,70

olarak verilmiştir. Buradan, Türkçe roman olan kitapların genel oranı

P(T \cap R) = P(T) \cdot P(R|T) = 0,70 \cdot 0,30 = 0,21

olur. Yabancı dildeki roman olan kitapların genel oranı ise

P(Y \cap R) = P(Y) \cdot P(R|Y) = 0,30 \cdot 0,70 = 0,21

olur.

Bir kitabın hem belirli bir dilde hem de roman olma olasılığı, o dilin seçilme olasılığı ile o dildeki kitabın roman olma koşullu olasılığının çarpımına eşittir.

3

Kütüphanedeki toplam roman oranını hesaplayalım.

Kütüphanedeki toplam roman oranı

P(R) = P(T \cap R) + P(Y \cap R) = 0,21 + 0,21 = 0,42

olur.

Kütüphanedeki bir roman ya Türkçe ya da yabancı dildedir. Toplam olasılık formülü gereği bu iki ayrık durumun olasılıkları toplanır.

4

Seçilen kitabın roman olduğu bilindiğine göre Türkçe olma olasılığını koşullu olasılık formülüyle bulalım.

P(T|R) = \frac{P(T \cap R)}{P(R)} = \frac{0,21}{0,42} = 0,5

olur.

Koşullu olasılık tanımına göre

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

formülü uygulanır.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Toplam Olasılık Formülü

Alternatif Yöntem

Kitap sayısını somutlaştırarak çözebiliriz. Kütüphanede toplam 100 kitap olsun. Bu durumda 70 Türkçe, 30 yabancı kitap bulunur. Türkçe kitapların %30'u roman olduğuna göre

70 \times 0,30 = 21

Türkçe roman vardır. Yabancı kitapların %70'i roman olduğuna göre

30 \times 0,70 = 21

yabancı roman vardır. Toplam roman sayısı

21 + 21 = 42

'dir. Seçilen kitabın roman olduğu bilindiğine göre, bu kitabın Türkçe olma olasılığı

\frac{21}{42} = \frac{1}{2} = 0,5

olur.

Tahmini Süre:1m 30s

Koşullu Olasılık

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem