Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri

Q\mathbb{Q} rasyonel sayılar kümesini ve R\mathbb{R} gerçel sayılar kümesini göstermek üzere, AA ve BB kümeleri

A={x∈Q∣x2−2x∈Z ve x∈[−3,3]}A = \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 - 2x \in \mathbb{Z} \text{ ve } x \in [-3, 3]\}
B={x∈R∣x2−2x∈Z ve x∈[−3,3]}B = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 2x \in \mathbb{Z} \text{ ve } x \in [-3, 3]\}

biçiminde tanımlanıyor.

Buna göre, BB kümesinin eleman sayısı AA kümesinin eleman sayısından kaç fazladır?

Cevap: 14

Cevap

B kümesinin eleman sayısı A kümesinin eleman sayısından 14 fazladır.
A kümesinin elemanları rasyonel sayı olarak tanımlanmıştır. Bir xx rasyonel sayısı için x2−2xx^2 - 2x ifadesinin tam sayı olması ancak xx değerinin bir tam sayı olması durumunda gerçekleşebilir. [−3,3][-3, 3] kapalı aralığındaki tam sayılar 7 tanedir, bu nedenle A kümesinin eleman sayısı 7 olur. B kümesinde ise xx değerleri gerçel sayıdır. f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x parabolü [−3,3][-3, 3] aralığında [−1,15][-1, 15] arasındaki tüm tam sayı değerlerini alır. y=ky = k (k∈Zk \in \mathbb{Z}) doğrularının bu aralıkta parabolü kestiği noktalar incelendiğinde; tepe noktasında (y=−1y = -1) 1 nokta, y∈{0,1,2,3}y \in \{0, 1, 2, 3\} için 2'şer noktadan toplam 8 nokta, y∈{4,5,...,15}y \in \{4, 5, ..., 15\} için ise sadece sol kolda 1'er noktadan toplam 12 nokta kesişim oluşturur. Böylece B kümesinin eleman sayısı 1+8+12=211 + 8 + 12 = 21 bulunur. İki kümenin eleman sayıları farkı 21−7=1421 - 7 = 14 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını belirlemek için rasyonel x değerlerini analiz etme
x rasyonel sayısı için x2−2xx^2 - 2x bir tam sayı ise, x sayısı da bir tam sayı olmak zorundadır. Bu koşulu sağlayan [−3,3][-3, 3] aralığındaki tam sayılar {−3,−2,−1,0,1,2,3}\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} olup A kümesinin eleman sayısı 7'dir.
Rasyonel sayıların tam sayı olma zorunluluğunu göstererek A kümesinin eleman sayısını tam olarak tespit etmek.
2
f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2x fonksiyonunun [−3,3][-3, 3] aralığındaki sınırlarını ve tepe noktasını bulma
Fonksiyon x=1x=1 tepe noktasında minimum −1-1 değerini alır. Sol uç olan x=−3x=-3 noktasında 1515, sağ uç olan x=3x=3 noktasında ise 33 değerini alır. Görüntü kümesi [−1,15][-1, 15] aralığıdır.
İkinci dereceden fonksiyonun görüntü kümesindeki tam sayı değerlerinin sınırlarını belirleyerek kaç farklı tam sayı değeri alabileceğini bulmak.
3
Değer aralığındaki her tam sayı değeri için [−3,3][-3, 3] aralığına düşen gerçel kök sayısını hesaplama
k=−1k = -1 için 1 kök, k∈{0,1,2,3}k \in \{0, 1, 2, 3\} için 8 kök, k∈{4,5,...,15}k \in \{4, 5, ..., 15\} için 12 kök olmak üzere toplam 21 farklı gerçel kök (B kümesinin elemanı) bulunur.
Fonksiyonun her bir tam sayı değerini kaç kez aldığını aralık sınırlarına dikkat ederek saymak.
4
B ve A kümelerinin eleman sayıları arasındaki farkı bulma
21−7=1421 - 7 = 14
Soruda istenen fark değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve gerçel sayılar kümelerinin eleman analizi, rasyonel kök teoremi uygulaması ve ikinci dereceden fonksiyonların görüntü kümesi üzerindeki tam sayı değerlerinin tespiti.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru