Examkin

Sayılar

461 soru

Tüm türler461Çoktan seçmeli282Doğru / Yanlış16Sayısal148Sıralama15
Soru 1Soru →

Bir laboratuvarda yapılan hassas ölçümlerde beş farklı maddenin sıcaklık deği��imleri santigrat derece (∘C^\circ\text{C}) cinsinden sırasıyla −35-3{}5, 00, 44, −3-\sqrt{3} ve 125\frac{12}{5} olarak kaydedilmiştir.

Buna göre, kaydedilen bu sıcaklık değişim değerlerinden kaç tanesi bir tam sayı belirtir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2

Cevap

Kaydedilen sıcaklık değişim değerlerinden tam sayı belirtenler 2 tanedir.
Verilen sayılar incelendiğinde, 00 ve 44 sayılarının tam sayılar kümesine ait olduğu görülür. −35-3{}5 ve 125\frac{12}{5} sayıları tam sayı olmayan rasyonel sayılardır. −3-\sqrt{3} sayısı ise rasyonel olmadığından irrasyonel bir sayıdır. Bu nedenle tam sayı belirten değerlerin sayısı 2'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sayıların sayı kümelerindeki yerlerini sınıflandırmak
−35∈Q∖Z-3{}5 \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}, 0∈Z0 \in \mathbb{Z}, 4∈Z4 \in \mathbb{Z}, −3∈R∖Q-\sqrt{3} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}, 125∈Q∖Z\frac{12}{5} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
Sayıların tam sayı sınıfına girip girmediğini anlamak için en dar sayı kümesi üyeliklerini tespit etmeliyiz.
2
Tam sayı olan elemanları seçip sayısını bulmak
Tam sayı olanlar 00 ve 44'tür. Toplamda 2 tane tam sayı vardır.
Soru kökünde bizden tam sayı olan değerlerin adedi istenmiştir.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri
Soru 2Soru →

Bir alışveriş merkezinde zemin katın 22 kat altında otopark, 44 kat üstünde ise sinema salonu bulunmaktadır.

Bu katları temsil eden −2-2 ve 44 sayıları ile ilgili;

I. Her ikisi de birer doğal sayıdır.
II. Her ikisi de birer tam sayıdır.
III. Her ikisi de birer rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve III

Cevap

İkinci ve üçüncü önermelerin yer aldığı seçenek doğrudur.
İkinci ve üçüncü önermeler doğrudur. Hem −2-2 hem de 44 sayıları tam sayılar kümesinin (Z\mathbb{Z}) elemanıdır. Ayrıca her tam sayı, paydası 11 olan bir rasyonel sayı (Q\mathbb{Q}) şeklinde ifade edilebildiği için bu iki sayı rasyonel sayılar kümesinin de elemanıdır. Birinci önerme ise yanlıştır çünkü −2-2 sayısı negatif bir tam sayı olup doğal sayılar kümesine (N\mathbb{N}) ait değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıları ve ait oldukları temel sayı kümelerini belirleyelim.
−2-2 negatif bir tam sayıdır, 44 ise pozitif bir tam sayıdır.
Önermelerin doğruluğunu test etmek için her bir sayının sayı kümelerindeki yerini analiz etmeliyiz.
2
Birinci önermenin doğruluğunu kontrol edelim.
Doğal sayılar kümesi (N\mathbb{N}) sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşur: N={0,1,2,3,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}. −2-2 negatif bir sayı olduğu için bir doğal sayı değildir. Dolayısıyla birinci önerme yanlıştır.
Doğal sayılar kümesinin negatif eleman barındırmadığını doğrulamak için.
3
İkinci ve üçüncü önermelerin doğruluğunu kontrol edelim.
Hem −2-2 hem de 44 birer tam sayıdır (Z\mathbb{Z}), dolayısıyla ikinci önerme doğrudur. Ayrıca her tam sayı, paydası 11 olan bir rasyonel sayı (Q\mathbb{Q}) olarak yazılabileceğinden (örneğin −21\frac{-2}{1} ve 41\frac{4}{1}) her ikisi de rasyonel sayıdır. Bu nedenle üçüncü önerme de doğrudur.
Tam sayılar ve rasyonel sayılar kümelerinin özelliklerini ve aralarındaki kapsama ilişkisini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri ve elemanların bu kümelere aidiyeti
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 3Soru →

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, iki basamaklı BCBC doğal sayısının 13 katından 20 fazladır.

Buna göre, AA rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 15

Cevap

A rakamının alabileceği farklı değerlerin toplamı 15'tir.
Çözümleme yapıldığında elde edilen 25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5 denkleminde, BCBC iki basamaklı doğal sayısının alabileceği değerler 1010 ile 9999 arasındadır. Bu koşul altında 3⋅BC+53 \cdot BC + 5 ifadesinin 2525'in katı olması için AA rakamı yalnızca 22, 55 ve 88 değerlerini alabilir. Bu değerlerin toplamı 1515 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayının basamak çözümlemesini yapmak.
ABC=100A+BCABC = 100A + BC
ABCABC üç basamaklı sayısının son iki basamağını ayırarak çözümleme yapmak, BCBC iki basamaklı terimi ile sadeleştirmeyi kolaylaştırır.
2
Soruda verilen sözel ifadeyi denklem olarak yazmak.
100A+BC=13⋅BC+20  ⟹  100A=12⋅BC+20100A + BC = 13 \cdot BC + 20 \implies 100A = 12 \cdot BC + 20
Matematiksel modeli kurarak değişkenleri düzenlemek.
3
Denklemin katsayılarını en büyük ortak bölen ile sadeleştirmek.
25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5
Daha küçük katsayılarla çalışmak ve değer verme aşamasında işlem kolaylığı sağlamak.
4
BCBC ifadesinin iki basamaklı bir doğal sayı olma şartını uygulayarak AA değerlerini aramak.
A∈{2,5,8}A \in \{2, 5, 8\} ve buna karşılık gelen BC∈{15,40,65}BC \in \{15, 40, 65\}
10≤BC≤9910 \leq BC \leq 99 sınırları dahilinde 3⋅BC+53 \cdot BC + 5 ifadesinin 25'in katı olmasını sağlayan rakamlar belirlenir.
5
Bulunan rakamları toplamak.
2+5+8=152 + 5 + 8 = 15
AA rakamının alabileceği tüm farklı değerlerin toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Çözümleme yaparken tüm basamakları tek tek açmak yerine (100A+10B+C100A + 10B + C), ortak blokları (100A+BC100A + BC) birlikte gruplandırmak işlem kolaylığı sağlar.

Alternatif Yöntem

25A=3⋅BC+525A = 3 \cdot BC + 5 denkleminde eşitliğin sağ tarafı 55'in katıdır. Dolayısıyla sol taraftaki 25A25A da 55'in katı olmalıdır. Buradan 3⋅BC3 \cdot BC ifadesinin 55'in katı olması gerektiği, yani BCBC sayısının birler basamağının (CC) 00 veya 55 olması gerektiği görülür. C=0C = 0 veya C=5C = 5 değerleri üzerinden deneme yapılarak BC∈{15,40,65}BC \in \{15, 40, 65\} değerlerine daha hızlı ulaşılabilir.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 4Soru →
aa bir tam sayı olmak üzere,
7a+47a + 4
ifadesi bir tek sayıya eşittir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a2+3a^2 + 3

Cevap

a^2 + 3 ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Tek bir tam sayının karesi tek bir sayıya eşittir. Tek bir sayı ile başka bir tek sayı olan 33 toplandığında sonuç her zaman çift bir sayı olur. Dolayısıyla a2+3a^2 + 3 ifadesi daima çifttir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen 7a+47a + 4 ifadesinin tekliğini analiz etmek.
7a7a ifadesi tek bir sayıya eşit olmalıdır.
Tek bir sonuç elde etmek için çift sayı olan 44 ile tek bir sayının toplanması gerekir.
2
7a7a ifadesinin tek olmasından yola çıkarak aa değişkeninin paritesini belirlemek.
aa tek bir tam sayıdır.
İki tam sayının çarpımı tek ise bu sayıların her ikisi de tek olmak zorundadır. 77 sayısı tek olduğundan aa da tek olmalıdır.
3
aa tek sayısı için seçeneklerdeki ifadelerin değerlerini incelemek.
a2+3a^2 + 3 ifadesinin çift olduğu belirlenir.
aa tek sayı ise karesi olan a2a^2 de tek sayıdır. Tek bir sayı ile tek bir sayı olan 33 toplandığında sonuç daima çift sayı olur.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ile işlemler
Soru 5Soru →

aa, bb ve cc birer gerçel sayı olmak üzere,

a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0
b+c>0b + c > 0

eşitsizlik ve eşitliği veriliyor.

Buna göre; aa, bb ve cc sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: −, +, is¸aretsiz-, \ +, \ \text{işaretsiz}

Cevap

Sırasıyla negatif, pozitif ve işaretsiz (nötr)
Verilen a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinde, bir gerçel sayının çift kuvveti olan b2b^2 ifadesi daima pozitif veya sıfırdır. Çarpımın sonucu sıfırdan küçük olduğu için bb sıfır olamaz, dolayısıyla b2>0b^2 > 0 olur. Bu durumda çarpımın negatif olabilmesi için a3<0a^3 < 0 olmalıdır, buradan da aa sayısının işareti negatif (−-) bulunur. a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğinde aa ve bb sıfırdan farklı olduğu için c=0c = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır. Son olarak b+c>0b + c > 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yazıldığında b>0b > 0 elde edilir, yani bb sayısının işareti pozitif (++) olur. Dolayısıyla sırasıyla işaretler −, +, is¸aretsiz-, \ +, \ \text{işaretsiz} şeklinde belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
aa sayısının işaretini belirleme
a<0a < 0 (negatif)
b2b^2 ifadesi her zaman pozitif olduğundan (b≠0b \neq 0), a3⋅b2<0a^3 \cdot b^2 < 0 eşitsizliğinin sağlanması için a3<0a^3 < 0 yani a<0a < 0 olmalıdır.
2
cc sayısının değerini ve işaretini belirleme
c=0c = 0 (işaretsiz / nötr)
a⋅b⋅c=0a \cdot b \cdot c = 0 eşitliğinde a≠0a \neq 0 ve b≠0b \neq 0 olduğundan c=0c = 0 olmalıdır. Sıfır sayısı işaretsizdir.
3
bb sayısının işaretini belirleme
b>0b > 0 (pozitif)
b+c>0b + c > 0 eşitsizliğinde c=0c = 0 yerine yazıldığında b>0b > 0 elde edilir.

Anahtar Kavram

Sıfır sayısı nötr (işaretsiz) bir sayıdır ve çift kuvvetler gerçel sayılarda daima pozitif veya sıfırdır.
Soru 6Soru →

aa, bb ve cc tam sayılar olmak üzere,

a⋅(b+c)a \cdot (b + c)

ifadesinin bir tek sayı,

b⋅(a+c)b \cdot (a + c)

ifadesinin ise bir çift sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+b+ca + b + c

Cevap

Tam sayıların toplamı olan a+b+ca + b + c ifadesi daima bir çift sayıdır.
Bulunan aa (tek), bb (çift) ve cc (tek) tam sayıları için a+b+ca + b + c toplamı, iki tek sayının toplamından çift sayı ve bu çift sayı ile bb çift sayısının toplamından yine çift sayı elde edileceği için daima çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
a⋅(b+c)a \cdot (b + c) ifadesinin tek sayı olmasından yola çıkarak çarpanların durumunu analiz etmek.
aa tek sayı ve b+cb + c tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
b+cb + c ifadesinin tek sayı olmasından yararlanarak bb ve cc tam sayılarının teklik-çiftlik ilişkisini kurmak.
bb ve cc tam sayılarından biri tek, diğeri çifttir.
İki tam sayının toplamının tek sayı olması ancak bu sayıların farklı teklik-çiftlik karakterine sahip olmasıyla mümkündür.
3
b⋅(a+c)b \cdot (a + c) ifadesinin çift sayı olduğu bilgisini kullanarak bb ve cc'nin değerlerini kesinleştirmek.
bb çift sayı, cc ise tek sayı olmalıdır.
Eğer bb tek sayı olsaydı cc çift sayı olurdu. Bu durumda a+ca + c ifadesi (tek + çift) tek sayı olurdu ve b⋅(a+c)b \cdot (a + c) çarpımı tek sayı çıkardı. Çarpımın çift sayı olduğu verildiğinden bb kesinlikle çift sayı, cc ise tek sayı olmalıdır. Bu durumda a+ca + c (tek + tek) çift sayı olur ve çarpım çift sayı şartını sağlar.
4
Elde edilen aa (tek), bb (çift) ve cc (tek) karakterlerini seçeneklerde yerine yazarak her zaman çift sayı olan seçeneği tespit etmek.
a+b+ca + b + c toplamı tek + çift + tek = çift sayı sonucunu verir.
Tam sayıların toplamı daima bir tam sayı olduğundan ve teklik-çiftlik özellikleri toplama işleminde korunduğundan bu ifade daima çift sayıdır.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Soru 7Soru →

xx ve yy iki basamaklı birbirinden farklı en küçük iki tam sayıdır.

Buna göre, x+yx + y toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -197

Cevap

İki basamaklı birbirinden farklı en küçük iki tam sayının toplamı -197'dir.
İki basamaklı en küçük iki farklı tam sayı −99-99 ve −98-98'dir. Bu sayıların toplamı −197-197 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
İki basamaklı en küçük tam sayıyı belirleme
−99-99
Tam sayılar kümesi negatif sayıları da kapsadığından, iki basamaklı en küçük tam sayı sıfırdan en uzak olan −99-99 sayısıdır.
2
Birbirinden farklı ikinci en küçük tam sayıyı belirleme
−98-98
Sayıların farklı olması koşulundan dolayı, −99-99 dışındaki en k��çük iki basamaklı tam sayı −98-98'dir.
3
Sayıların toplamını hesaplama
−197-197
Soruda istenen toplam için belirlenen iki sayı toplanır: −99+(−98)=−197-99 + (-98) = -197 elde edilir.

Anahtar Kavram

Tam sayılar kümesinin negatif elemanları barındırması ve negatif tam sayılarda sıralama kuralları.
Tahmini Süre:45s
Soru 8Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
3a−b=2c+13a - b = 2c + 1
eşitliği veriliyor.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

İki sayının çarpımı olan ifade her zaman bir çift sayıdır.
Verilen denklemde eşitliğin sağ tarafı tek sayı olduğundan sol tarafı da tek sayı olmak zorundadır. Bu durum aa ve bb tam sayılarından birinin tek, diğerinin çift olduğunu gösterir. Çarpanlarından en az biri çift olan çarpım işlemi her zaman çift sayı üreteceğinden, bu iki sayının çarpımı her zaman bir çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin sağ tarafının teklik-çiftlik durumunu belirleme
2c+12c + 1 ifadesinin sonucu, cc bir tam sayı olduğu için her zaman tektir.
Herhangi bir tam sayının 22 katı çift olup, bir fazlası her zaman tek sayı sonucunu verir.
2
Eşitliğin sol tarafındaki terimlerin teklik-çiftlik ilişkisini bulma
3a−b3a - b ifadesi de tek sayı olmalıdır. Bu durumda 3a3a ile bb sayılarının teklik-çiftlik durumları farklıdır. 3a3a ifadesinin paritesi aa ile aynı olduğundan, aa ve bb sayılarından biri tek iken diğeri çift olmalıdır.
Farkları tek olan iki tam sayıdan biri çift, diğeri tek olmak zorundadır.
3
Seçeneklerdeki ifadelerin her zaman çift olup olmadığını test etme
aa ve bb sayılarından en az biri çift olduğu için, bu iki sayının çarpımı olan a⋅ba \cdot b ifadesi her zaman bir çift sayıdır.
Çarpma işleminde çarpanlardan en az birinin çift olması, çarpım sonucunu çift sayı yapar.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların özellikleri ile temel aritmetik işlemler.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 9Soru →
aa, bb ve cc birer tam sayı olmak üzere,
a+3ba + 3b
ifadesinin bir çift sayı,
b⋅cb \cdot c
ifadesinin ise bir tek sayı olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a - c

Cevap

İki tek sayının farkın�� temsil eden ifade her zaman çift sayıdır.
Verilen ilişkilerden a, b ve c tam sayılarının her birinin tek sayı olduğu sonucuna ulaşılır. İki tek sayının farkı her zaman çift sayı olacağından, iki değişkenin farkını belirten ifade her zaman çift bir sayıya eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
b ve c tam sayılarının çarpımının tek sayı olma durumu incelenir.
b ve c sayılarının her ikisi de tek sayıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için bu sayıların her birinin tek sayı olması gerekir.
2
a + 3b ifadesinin çift sayı olma durumu, b sayısının tek sayı olduğu bilgisi kullanılarak incelenir.
a sayısı tek sayıdır.
b tek sayı olduğundan 3b de tek sayıdır. Tek bir sayı ile başka bir sayının toplamının çift sayı olabilmesi için o sayının da tek sayı olması gerekir (tek + tek = çift).
3
a, b ve c değişkenlerinin hepsinin tek sayı olduğu belirlendikten sonra seçeneklerdeki ifadelerin teklik-çiftlik durumları analiz edilir.
İki tek sayının farkı her zaman çift sayı olduğundan, aranan ifadenin bu farkı gösteren ifade olduğu bulunur.
a ve c tek sayılar olduğundan, aralarındaki fark her zaman çift bir tam sayı verir. Diğer seçenekler ise ya her zaman tek sayıdır ya da üssün negatif olma ihtimali nedeniyle tam sayı belirtmeyebilir.

Anahtar Kavram

Tek ve Çift Sayılar
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 10Soru →

İki basamaklı ABAB doğal sayısı, rakamları toplamının 4 katına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABAB sayısının onlar basamağındaki rakam kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

En büyük sayının onlar basamağındaki rakam olan 4
Verilen koşulu sağlayan iki basamaklı en büyük sayı 4848'dir ve bu sayının onlar basamağındaki rakam 44'tür.

Adım Adım Çözüm

1
ABAB iki basamaklı sayısını basamak değerlerine göre çözümleyelim.
AB=10A+BAB = 10A + B olur.
Onlar basamağındaki rakam 10, birler basamağındaki rakam 1 ile ��arpılarak çözümlenir.
2
Verilen eşitliği kullanarak AA ve BB rakamları arasındaki ilişkiyi bulalım.
10A+B=4(A+B)  ⟹  10A+B=4A+4B  ⟹  6A=3B  ⟹  2A=B10A + B = 4(A + B) \implies 10A + B = 4A + 4B \implies 6A = 3B \implies 2A = B elde edilir.
Sayının, rakamları toplamının 4 katına eşit olduğu bilgisi denklem olarak yazılıp sadeleştirilmiştir.
3
2A=B2A = B eşitliğini sağlayan AA ve BB rakamlarını belirleyelim ve en büyük ABAB sayısını bulalım.
AA ve BB birer rakam ve ABAB iki basamaklı sayı olduğundan A≠0A \neq 0 olmalıdır. Bu durumda olası (A,B)(A, B) ikilileri: (1,2)(1, 2), (2,4)(2, 4), (3,6)(3, 6) ve (4,8)(4, 8)'dir. En büyük sayı 4848 olarak bulunur.
En büyük iki basamaklı sayıyı elde etmek için onlar basamağındaki AA rakamını en büyük seçmemiz gerekir. B=2AB = 2A bir rakam olduğundan B≤9B \leq 9 olmalıdır, bu yüzden AA en fazla 44 olabilir.

Anahtar Kavram

İki Basamaklı Sayıların Çözümlenmesi ve Basamak Değeri İlişkisi
Soru 11Soru →

Sıfırdan farklı aa ve bb gerçel sayıları için a<0<ba < 0 < b iken, −a2⋅b-a^2 \cdot b ifadesinin değeri daima negatif, (−a)2⋅(−b)3(-a)^2 \cdot (-b)^3 ifadesinin değeri ise daima pozitiftir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır.
Önerme yanlıştır. Çünkü a<0<ba < 0 < b koşulunda b>0b > 0 olduğundan −b<0-b < 0 (negatif) olur. Negatif bir sayının tek kuvveti negatif olduğundan (−b)3<0(-b)^3 < 0 olur. −a>0-a > 0 olduğundan çift kuvveti (−a)2>0(-a)^2 > 0 (pozitif) olur. Bu iki ifadenin çarpımı olan (−a)2⋅(−b)3(-a)^2 \cdot (-b)^3 ifadesi negatif bir değer almalıdır, ancak önermede pozitif olduğu iddia edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin ve karşıt işaretli terimlerin işaretlerini belirleme.
a<0a < 0 olduğundan −a>0-a > 0 olur. b>0b > 0 olduğundan −b<0-b < 0 olur.
Pozitif ve negatif sayıların toplama işlemine göre terslerinin işaretlerini doğru tespit etmek için.
2
−a2⋅b-a^2 \cdot b ifadesinin işaretini inceleme.
a≠0a \neq 0 olduğundan a2>0a^2 > 0 olur. Önündeki eksi işaretinden dolayı −a2<0-a^2 < 0 (negatif) elde edilir. b>0b > 0 (pozitif) olduğundan, −a2⋅b=(negatif)⋅(pozitif)=negatif-a^2 \cdot b = (\text{negatif}) \cdot (\text{pozitif}) = \text{negatif} olur. Bu kısım önermeyle uyumludur.
Parantezsiz üslü ifadelerde eksi işaretinin tabana dahil olmadığını ve çarpma kuralını uygulamak için.
3
(−a)2⋅(−b)3(-a)^2 \cdot (-b)^3 ifadesinin işaretini inceleme.
−a>0-a > 0 olduğundan (−a)2>0(-a)^2 > 0 (pozitif) olur. −b<0-b < 0 (negatif) olduğundan, negatif bir sayının tek kuvveti olan (−b)3<0(-b)^3 < 0 (negatif) elde edilir. Buradan (−a)2⋅(−b)3=(pozitif)⋅(negatif)=negatif(-a)^2 \cdot (-b)^3 = (\text{pozitif}) \cdot (\text{negatif}) = \text{negatif} olur. Bu kısım önermedeki 'pozitiftir' iddiasıyla çelişir.
Negatif sayıların tek kuvvetlerinin negatif, çift kuvvetlerinin ise pozitif olduğunu parantez özelliklerine dikkat ederek belirlemek için.
4
Elde edilen sonuçları değerlendirerek önermenin doğruluk değerini belirleme.
İkinci ifade pozitif değil negatif değer aldığı için önerme yanlıştır.
Önermenin genel doğruluk değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Pozitif ve Negatif Sayıların Kuvvetleri ve İşaret Kuralları
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 12Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
x2⋅(x−1)<0x^2 \cdot (x - 1) < 0
eşitsizliğini sağlayan en büyük xx tam sayısı ka��tır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük x tam sayısı -1'dir.
Verilen eşitsizlikte x2x^2 çarpanı x=0x = 0 dışında daima pozitiftir. x=0x = 0 için çarpım sıfır olup eşitsizliği sağlamaz. Dolayısıyla x≠0x \neq 0 olmalıdır. Çarpımın negatif olabilmesi için diğer çarpan olan x−1x - 1 ifadesinin negatif olması, yani x<1x < 1 olması gerekir. 1'den küçük olan ve 0'a eşit olmayan en büyük tam sayı -1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
x2x^2 ifadesinin alabileceği değerlerin işaretlerini analiz edin.
x=0x = 0 için x2=0x^2 = 0 olur. x≠0x \neq 0 olan tüm durumlar için x2>0x^2 > 0 olur.
Herhangi bir gerçel sayının karesi negatif olamaz, ya sıfırdır ya da pozitiftir.
2
x=0x = 0 değerinin eşitsizliği sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=0x = 0 için 02⋅(0−1)=00^2 \cdot (0 - 1) = 0 olur. 0<00 < 0 ifadesi yanlış olduğundan x=0x = 0 çözüme dahil edilemez.
Sıfır sayısı işaretsiz (nötr) bir sayıdır ve çarpımı sıfır yaparak eşitsizliği geçersiz kılar.
3
x≠0x \neq 0 kabulü altında çarpımın negatif olma şartını inceleyin.
x2>0x^2 > 0 olduğundan, çarpımın negatif olması için x−1<0  ⟹  x<1x - 1 < 0 \implies x < 1 olmalıdır.
Pozitif bir sayı ile negatif bir sayının çarpımı daima negatiftir.
4
x<1x < 1 ve x≠0x \neq 0 koşullarına uyan en büyük tam sayıyı belirleyin.
Koşulları sağlayan tam sayılar {−1,−2,−3,… }\{-1, -2, -3, \dots\} olup en büyük eleman −1-1'dir.
1'den küçük olan en büyük tam sayı normalde 0'dır, ancak 0 değeri eşitsizliği sağlamadığı için bir sonraki en büyük tam sayı olan -1 seçilir.

Anahtar Kavram

Sıfırın nötr (işaretsiz) olma özelliği ve çift dereceli terimlerin işareti
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 13Soru →
8!−7!6!\frac{8! - 7!}{6!}

işleminin sonucu kaçtır?
Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 49

Cevap

İşlemin sonucu 49 olarak bulunur.
İşlemin payı ortak paranteze alınarak 7!(8−1)=7⋅7!7!(8-1) = 7 \cdot 7! olarak yazılır. Paydadaki 6!6! ile sadeleştirme yapıldığında 7⋅7⋅6!6!=49\frac{7 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 49 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki faktöriyelli ifadeleri ortak paranteze alabilmek için büyük olan terimi küçük olana göre açalım.
8!=8⋅7!8! = 8 \cdot 7! yazıldığında pay kısmı 8⋅7!−7!8 \cdot 7! - 7! olur.
Ortak terim olan 7!7! çarpanını belirginleştirmek için.
2
Pay kısmını 7!7! ortak parantezine alalım.
7!⋅(8−1)=7⋅7!7! \cdot (8 - 1) = 7 \cdot 7! elde edilir.
Çıkarma işlemini çarpanlara ayırarak tek bir terim haline getirmek için.
3
Elde edilen ifadeyi paydaya bölüp sadeleştirelim.
7⋅7!6!=7⋅7⋅6!6!=7⋅7=49\frac{7 \cdot 7!}{6!} = \frac{7 \cdot 7 \cdot 6!}{6!} = 7 \cdot 7 = 49
7!7! ifadesini 7⋅6!7 \cdot 6! şeklinde açarak paydadaki 6!6! ile sadeleştirmek için.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde büyük olan terimi küçük olan cinsinden açarak ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yapma.
Soru 14Soru →
aa ve bb birer tam sayı olmak üzere,
a+4ba + 4b
ifadesinin bir tek sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a+3a + 3

Cevap

a+3a + 3 ifadesi her zaman bir çift sayıya eşittir.
aa sayısının tek olduğu belirlendikten sonra, tek bir sayıya 33 (tek sayı) eklendiğinde sonuç her zaman çift sayı olur.

Adım Adım Çözüm

1
a+4ba + 4b ifadesinin teklik-çiftlik durumunu incelemek.
4b4b ifadesinde katsayı çift (44) olduğundan, bb tam sayısı ne olursa olsun 4b4b her zaman çift sayıdır. Dolayısıyla a+4ba + 4b toplamının tek sayı olabilmesi için aa sayısının tek sayı olması gerekir.
Tek bir sonuç elde etmek için çift sayı ile tek sayının toplanması gerekir.
2
bb tam sayısının durumunu analiz etmek.
bb hakkında herhangi bir sınırlama olmadığından bb tek veya çift tam sayı olabilir.
4b4b ifadesi bb'nin her iki durumunda da çift sonuç verir, bu yüzden bb değişkeninin paritesi belirlenemez.
3
Seçenekleri aa'nın tek, bb'nin ise belirsiz olduğu bilgisiyle incelemek.
a+3a + 3 ifadesinde aa tek olduğundan, tek ile tekin toplamı çifttir. Diğer seçenekler bb'nin belirsiz paritesi veya negatif tam sayı olma ihtimali nedeniyle her zaman çift sayı belirtmez.
Soruda istenen her zaman çift olma koşulunu yalnızca tek bir değişkenin bilinen paritesiyle sağlayan seçeneği bulmak.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda tek ve çift sayıların toplama, çarpma ve üs alma işlemlerindeki özellikleri.
Tahmini Süre:1m 15s
Soru 15Soru →
8!−2⋅7!6!+5!\frac{8! - 2 \cdot 7!}{6! + 5!}

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 3636

Cevap

İşlemin doğru sonucu 36'dır.
Pay ifadesi 6⋅7!6 \cdot 7! ve payda ifadesi 7⋅5!7 \cdot 5! olarak düzenlendikten sonra oranlandığında, 7!7! terimi 7⋅6⋅5!7 \cdot 6 \cdot 5! şeklinde açılır. Pay ve paydadaki 77 ve 5!5! terimleri sadeleştiğinde geriye kalan 6⋅66 \cdot 6 çarpımından doğru cevap olan 3636 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmında bulunan 8!−2⋅7!8! - 2 \cdot 7! ifadesini ortak olan en küçük faktöriyel terimi olan 7!7! parantezine alırız.
8!−2⋅7!=8⋅7!−2⋅7!=7!⋅(8−2)=6⋅7!8! - 2 \cdot 7! = 8 \cdot 7! - 2 \cdot 7! = 7! \cdot (8 - 2) = 6 \cdot 7!
Pay kısmını sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak.
2
Payda kısmında bulunan 6!+5!6! + 5! ifadesini ortak olan en küçük faktöriyel terimi olan 5!5! parantezine alırız.
6!+5!=6⋅5!+5!=5!⋅(6+1)=7⋅5!6! + 5! = 6 \cdot 5! + 5! = 5! \cdot (6 + 1) = 7 \cdot 5!
Payda kısmını sadeleştirmeye uygun şekilde çarpanlarına ayırmak.
3
Bulunan pay ve payda ifadelerini kesirde yerine koyup, 7!=7⋅6⋅5!7! = 7 \cdot 6 \cdot 5! açılımını kullanarak sadeleştiririz.
6⋅7!7⋅5!=6⋅7⋅6⋅5!7⋅5!=6⋅6=36\frac{6 \cdot 7!}{7 \cdot 5!} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{7 \cdot 5!} = 6 \cdot 6 = 36
Ortak çarpanları sadeleştirerek nihai sayısal sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Faktöriyelli ifadelerde ortak paranteze alma ve sadeleştirme
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 16Soru →
Bir aa tam sayısı ile bir bb tam sayısının toplamının aa katı olan
a⋅(a+b)a \cdot (a + b)
ifadesi bir tek sayıdır.

Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman bir çift sayıdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: a⋅ba \cdot b

Cevap

a ve b tam sayılarının çarpımı olan ifade her zaman çift sayıdır
Verilen ifadenin tek sayı olması için hem a sayısının hem de a + b toplamının tek sayı olması gerekir. Buradan a tek sayı olarak bulunur. a tek sayı ise a + b toplamının tek sayı olması için b sayısının çift sayı olması gerekir. a tek, b çift tam sayı olduğuna göre, bu iki tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen çarpım ifadesinin çarpanlarını incelemek
a tek sayı ve a + b tek sayı olmalıdır.
İki tam sayının çarpımının tek sayı olması için her iki çarpanın da tek sayı olması gerekir.
2
Parantez içindeki ifadenin teklik-çiftlik durumundan diğer değişkeni belirlemek
b çift sayı olmalıdır.
a sayısı tek sayı olduğundan, a + b toplamının tek sayı çıkabilmesi için b sayısının çift sayı olması gerekir.
3
Değişkenlerin teklik-çiftlik durumunu seçeneklerde denemek
a tek ve b çift tam sayılar olduğundan, a ile b'nin çarpımı olan ifade her zaman çift bir tam sayıdır.
Tek bir tam sayı ile çift bir tam sayının çarpımı her zaman çift bir tam sayıdır. Üslü ifadelerde üslerin negatif olma durumu sonucu tam sayı yapmayabileceği için her zaman çift sayı belirtmezler.

Anahtar Kavram

Tek ve çift sayıların özellikleri ile tam sayılarda teklik-çiftlik kuralları
Soru 17Soru →

aa ve bb birer gerçel sayı olmak üzere, a+ba + b ve a⋅ba \cdot b değerlerinin her ikisi de rasyonel sayı olduğu halde aa ve bb sayılarından en az birinin irrasyonel sayı olduğu (a,b)(a, b) sayı çiftlerine "özel çift" denir.

Melis, kk bir tam sayı olmak üzere,
a=3−ka = 3 - \sqrt{k}
b=3+kb = 3 + \sqrt{k}
sayılarını belirlemiştir.

Melis'in belirlediği aa ve bb sayılarının her ikisinin de [−2,8][-2, 8] kapalı aralığında yer aldığı ve (a,b)(a, b) çiftinin bir özel çift olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı kk tam sayısı vardır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Bu koşulları sağlayan 20 farklı k tam sayısı vardır.
Verilen aralık ve karekök tanımları incelendiğinde kk sayısının 00 ile 2525 arasındaki (sınırlar dahil) tam kare olmayan tam sayılar olması gerektiği görülür. Bu da 2020 farklı değer demektir.

Adım Adım Çözüm

1
aa ve bb sayılarının gerçel sayı olabilmesi için karekökün tanım kümesi incelenir.
k≥0k \geq 0
Negatif sayıların karekökü gerçel sayı belirtmez.
2
aa ve bb sayılarının [−2,8][-2, 8] kapalı aralığında olma koşulları çözülür.
k≤25k \leq 25
3+k≤8⇒k≤5⇒k≤253 + \sqrt{k} \leq 8 \Rightarrow \sqrt{k} \leq 5 \Rightarrow k \leq 25 ve 3−k≥−2⇒k≤5⇒k≤253 - \sqrt{k} \geq -2 \Rightarrow \sqrt{k} \leq 5 \Rightarrow k \leq 25 eşitsizliklerinin her ikisi de bu sonucu verir.
3
(a,b)(a, b) çiftinin "özel çift" olma tanımına göre sayı kümeleri analizi yapılır.
kk bir tam kare sayı olmamalıdır.
a+b=6∈Qa + b = 6 \in \mathbb{Q} ve a⋅b=9−k∈Qa \cdot b = 9 - k \in \mathbb{Q} olduğu için rasyonellik şartları sağlanır. Sayıların irrasyonel olması için k\sqrt{k} ifadesinin irrasyonel olması gerekir. Bu da kk tam sayısının bir tam kare olmaması anlamına gelir.
4
[0,25][0, 25] kapalı aralığındaki uygun kk tam sayılarının sayısı hesaplanır.
26−6=2026 - 6 = 20
0≤k≤250 \leq k \leq 25 aralığında toplam 2626 tam sayı vardır. Bu sayılardan tam kare olanlar {0,1,4,9,16,25}\{0, 1, 4, 9, 16, 25\} olmak üzere 66 tanedir. Bunlar çıkarıldığında 2020 sayı kalır.

Anahtar Kavram

Gerçel sayıların alt kümeleri olan rasyonel ve irrasyonel sayıların özellikleri ile kareköklü ifadelerin tanım kümesi.
Soru 18Soru →

Üzerinde 11, 22, 33 ve 44 rakamlarının yazılı olduğu dört kartın tamamı kullanılarak iki basamaklı iki doğal sayı elde ediliyor. Buna göre, elde edilen bu iki sayının toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 37

Cevap

Elde edilen iki basamaklı sayıların toplamının alabileceği en küçük değer 37'dir.
Oluşturulacak iki basamaklı iki sayının onlar basamağına en küçük rakamlar olan 1 ve 2, birler basamağına ise kalan 3 ve 4 rakamları yazıldığında en küçük toplam olan 37 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıların çözümlenmesi
AB+CD=10(A+C)+(B+D)AB + CD = 10(A + C) + (B + D)
Basamak değerlerinin toplam üzerindeki etkisini belirlemek için çözümleme yapılması gerekir.
2
Onlar basamağındaki rakamların seçilmesi
AA ve CC rakamları 11 ve 22 olarak belirlenir.
Onlar basamağının ağırlığı 10 olduğundan toplamın en küçük olması için buraya en küçük rakamlar yazılmalıdır.
3
Birler basamağındaki rakamların seçilmesi ve toplamın bulunması
BB ve DD rakamları 33 ve 44 olarak belirlenir ve toplam 13+24=3713 + 24 = 37 bulunur.
Kalan büyük rakamlar birler basamağına atanarak toplam minimuma indirilir.

Anahtar Kavram

Basamak çözümlemesi ve basamak değerlerine göre rakam yerleştirme
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 19Soru →
xx bir tam sayı olmak üzere,
5x−35x - 3
ifadesinin bir çift sayıya eşit olduğu bilinmektedir.

Buna göre, a��ağıdaki ifadelerden hangisi bir tek sayıya eşittir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: x2+2x^2 + 2

Cevap

x2+2x^2 + 2
5x−35x - 3 çift sayı olduğuna göre 5x5x tek sayı olmalıdır. Buradan xx sayısının tek sayı olduğu anlaşılır. xx tek sayı ise, x2+2x^2 + 2 ifadesi de tek sayının karesi (tek) ile çift bir sayı olan 22'nin toplamından tek sayı elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen ifadenin tek/çift durumunu inceleyerek xx değişkeninin karakterini belirlemek.
5x−35x - 3 ifadesi çift sayıdır. Bir çift sayı ile tek sayının farkı tek olacağından, 5x5x ifadesi tek sayı olmalıdır. 55 tek sayı olduğundan, çarpımın tek olması için xx tam sayısı da tek sayı olmalıdır.
Seçeneklerdeki ifadelerin tekliğini/çiftliğini test edebilmek için öncelikle xx sayısının tek mi çift mi olduğunu bulmamız gerekir.
2
Bulunan xx karakterini seçeneklerde yerine yazarak her seçeneğin sonucunu analiz etmek.
xx tek sayı olduğundan:
- Birinci seçenekteki x+1x + 1 ifadesi Tek+1=C¸ift\text{Tek} + 1 = \text{Çift} olur.
- İkinci seçenekteki x2+2x^2 + 2 ifadesi Tek2+2=Tek+C¸ift=Tek\text{Tek}^2 + 2 = \text{Tek} + \text{Çift} = \text{Tek} olur.
- Üçüncü seçenekteki 3x−13x - 1 ifadesi 3⋅Tek−1=Tek−Tek=C¸ift3 \cdot \text{Tek} - 1 = \text{Tek} - \text{Tek} = \text{Çift} olur.
- Dördüncü seçenekteki x2+xx^2 + x ifadesi Tek2+Tek=Tek+Tek=C¸ift\text{Tek}^2 + \text{Tek} = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift} olur.
- Beşinci seçenekteki 5x+75x + 7 ifadesi 5⋅Tek+7=Tek+Tek=C¸ift5 \cdot \text{Tek} + 7 = \text{Tek} + \text{Tek} = \text{Çift} olur.
Her seçenekteki cebirsel ifadenin tek/çift kurallarına göre sonucunu belirlemek için.

Anahtar Kavram

Tam sayılarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde teklik ve çiftlik durumlarının belirlenmesi.
Soru 20Soru →

Bir AA kümesinin elemanları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* AA kümesinin tüm elemanları [−4,4][-4, 4] kapalı aralığındaki birbirinden farklı gerçel sayılardan oluşmaktadır.
* AA kümesinin eleman sayısı 6'dır.
* AA kümesindeki elemanların 4 tanesi rasyonel sayıdır.
* AA kümesindeki elemanların 3 tanesi tam sayıdır.
* AA kümesindeki elemanların 2 tanesi doğal sayıdır.

Buna göre, AA kümesindeki tam sayıların toplamı en az kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -3

Cevap

Tam sayıların toplamının alabileceği en küçük değer -3'tür.
Doğal sayılar kümesi sıfırı içerdiği için [-4, 4] aralığındaki en küçük iki doğal sayı 0 ve 1'dir. Bu aralıktaki en küçük negatif tam sayı ise -4'tür. Bu üç tam sayının toplamı (-4) + 0 + 1 = -3 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı kümeleri arasındaki alt küme ilişkisini belirleyin.
Doğal sayılar kümesi, tam sayılar kümesinin alt kümesidir (N ⊂ Z).
Kümedeki tam sayıların kaçının doğal sayı kaçının negatif tam sayı olduğunu belirlemek için.
2
Kümedeki tam sayıların dağılımını bulun.
Kümede 3 tam sayı ve 2 do��al sayı olduğundan, tam sayılardan 2'si doğal sayı (negatif olmayan tam sayı), 1'i ise negatif tam sayıdır.
Toplamı en küçük yapacak elemanları bu gruplardan seçmek için.
3
Aralıktan seçilebilecek en küçük negatif tam sayıyı bulun.
[-4, 4] aralığındaki en küç��k negatif tam sayı -4'tür.
Toplamı en az yapmak için negatif tam sayıyı olabildiğince küçük seçmeliyiz.
4
En küçük iki farklı doğal sayıyı bulun.
En küçük iki farklı doğal sayı 0 ve 1'dir.
Doğal sayılar 0'dan başlar ve toplamı en az yapmak için en küçük elemanlar seçilmelidir.
5
Seçilen tam sayıları toplayın.
(-4) + 0 + 1 = -3
İstenen en küçük toplam değerini elde etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri ve alt küme ilişkileri (Doğal sayılar, Tam sayılar, Rasyonel sayılar)
Sayfa 1 / 24Sonraki
Sayılar Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin