Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir pastanede bir günde üretilen çikolatalı, çilekli ve muzlu pastaların her birinin yapımında sırasıyla 200 ml200\text{ ml}, 300 ml300\text{ ml} ve 400 ml400\text{ ml} süt kullanılmaktadır. Bu pastanede bir günde, her bir pasta çeşidinden en az birer tane olmak üzere toplam 4848 adet pasta üretilmiştir.

Bu üretimle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
- Pastaların yapımında toplam 14,614,6 litre süt kullanılmıştır.
- Üretilen çikolatalı pasta sayısı, çilekli pasta sayısının 33 katından fazladır.

Buna göre, bu günde üretilen muzlu pasta sayısı en az kaçtır?

  1. A
    20
  2. B
    21
  3. 22Cevap
  4. D
    23
  5. E
    24

Cevap

Muzlu pasta sayısı en az 22'dir.
Değişkenler xx (çikolatalı), yy (çilekli) ve zz (muzlu) olarak tanımlanıp denklemler kurulduğunda y=50−2zy = 50 - 2z ve x=z−2x = z - 2 bağıntıları elde edilir. Çikolatalı pasta sayısının çilekli pasta sayısının 3 katından fazla olma koşulu (x>3yx > 3y) uygulandığında z−2>3(50−2z)z - 2 > 3(50 - 2z) eşitsizliğine ve buradan da 7z>1527z > 152 sonucuna ulaşılır. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük zz tam sayısı 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenleri tanımlayıp toplam pasta sayısı denklemini kuralım.
Çikolatalı, çilekli ve muzlu pasta sayıları sırasıyla xx, yy ve zz olsun. Toplam pasta sayısı 4848 olduğundan: x+y+z=48x + y + z = 48 elde edilir.
Soruda verilen toplam adet bilgisini matematiksel olarak ifade etmek için.
2
Kullanılan toplam süt miktarı denklemini kuralım ve sadeleştirelim.
Toplam süt 14,6 L=14600 ml14,6\text{ L} = 14600\text{ ml}'dir. Her bir pasta türü için kullanılan süt miktarları ile denklem yazılırsa: 200x+300y+400z=14600200x + 300y + 400z = 14600 olur. Denklemin her iki tarafı 100 ile sadeleştirildiğinde: 2x+3y+4z=1462x + 3y + 4z = 146 elde edilir.
Toplam kullanılan süt miktarını ml birimine çevirip sade bir denklem elde etmek için.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözerek değişkenleri tek bir bilinmeyen (zz) cinsinden yazalım.
İlk denklem 2 ile çarpılıp (2x+2y+2z=962x + 2y + 2z = 96) ikinci denklemden çıkarılırsa: (2x+3y+4z)−(2x+2y+2z)=146−96  ⟹  y+2z=50  ⟹  y=50−2z(2x + 3y + 4z) - (2x + 2y + 2z) = 146 - 96 \implies y + 2z = 50 \implies y = 50 - 2z bulunur. Bu yy değeri toplam pasta denkleminde yerine yazılırsa: x=48−(50−2z)−z  ⟹  x=z−2x = 48 - (50 - 2z) - z \implies x = z - 2 elde edilir.
Eşitsizlik analizini tek bir değişken (zz) üzerinden kolayca yapabilmek için.
4
Çikolatalı pasta sayısı ile çilekli pasta sayısı arasındaki eşitsizliği uygulayalım.
x>3yx > 3y olduğu bilinmektedir. Bulduğumuz x=z−2x = z - 2 ve y=50−2zy = 50 - 2z ifadelerini yerine yazalım: z−2>3(50−2z)  ⟹  z−2>150−6z  ⟹  7z>152  ⟹  z>1527≈21,71z - 2 > 3(50 - 2z) \implies z - 2 > 150 - 6z \implies 7z > 152 \implies z > \frac{152}{7} \approx 21,71 elde edilir.
Soruda verilen kısıtlayıcı eşitsizlik koşulunu kullanarak zz değişkeninin alt sınırını belirlemek için.
5
Sınır koşullarını ve tam sayı olma şartını değerlendirelim.
zz pasta adedi olduğundan pozitif bir tam sayı olmalıdır. z>21,71z > 21,71 eşitsizliğini sağlayan en küçük zz tam sayısı 22'dir. Bu durumda y=50−2(22)=6y = 50 - 2(22) = 6 ve x=22−2=20x = 22 - 2 = 20 olur. Her iki değer de pozitif tam sayı şartını sağladığından muzlu pasta sayısı en az 22 olabilir.
En küçük tam sayı değerini bulup diğer pasta adetlerinin de pozitif tam sayı olma şartını (en az birer tane üretilme koşulunu) doğrulayarak çözüme ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde çok bilinmeyenli denklem sistemleri kurma, değişken sadeleştirme ve eşitsizlik analizi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru