Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir restoranda satılan A, B ve C menülerinin adet fiyatları sırasıyla 120 TL120\text{ TL}, 150 TL150\text{ TL} ve 180 TL180\text{ TL}'dir. Bir gün boyunca bu menülerden toplam 8080 adet satılmış ve toplam 12.900 TL12.900\text{ TL} gelir elde edilmiştir.

Bu günde her menüden en az birer adet satıldığı ve en çok satılan menünün B menüsü olduğu bilindiğine göre, A menüsünden en çok kaç adet satılmıştır?

  1. A
    4
  2. B
    5
  3. 6Cevap
  4. D
    7
  5. E
    8

Cevap

6
Verilen denklem sisteminden b=50−2ab = 50 - 2a ve c=a+30c = a + 30 bağıntıları elde edilir. En çok satılan menünün B menüsü olması koşuluyla b>ab > a ve b>cb > c eşitsizlikleri kurulur. b>cb > c eşitsizliğinden 50−2a>a+30  ⟹  a<20/3≈6,6750 - 2a > a + 30 \implies a < 20/3 \approx 6,67 sonucuna ulaşılır. Adet miktarı tam sayı olacağından bu koşulu sağlayan en büyük değer 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Menü adetlerini değişkenlerle ifade edip toplam adet ve toplam gelir denklemlerini kurun.
A, B ve C menülerinin adetleri sırasıyla aa, bb ve cc olsun. Toplam adet denklemi: a+b+c=80a + b + c = 80. Toplam gelir denklemi: 120a+150b+180c=12900120a + 150b + 180c = 12900.
Soruda verilen adet ve gelir bilgilerini matematiksel denklemlere dökmek için.
2
Gelir denklemini sadeleştirin ve iki denklemi ortak çözerek değişkenleri birbirleri cinsinden yazın.
120a+150b+180c=12900120a + 150b + 180c = 12900 denklemi 3030 ile sadeleştirilirse 4a+5b+6c=4304a + 5b + 6c = 430 elde edilir. Birinci denklemi 44 ile genişletip çıkarırsak: (4a+5b+6c)−4(a+b+c)=430−320  ⟹  b+2c=110(4a + 5b + 6c) - 4(a + b + c) = 430 - 320 \implies b + 2c = 110 bulunur. Buradan b=110−2cb = 110 - 2c elde edilir. Toplam adet denkleminden b=80−a−cb = 80 - a - c yazılarak 80−a−c=110−2c  ⟹  c−a=30  ⟹  c=a+3080 - a - c = 110 - 2c \implies c - a = 30 \implies c = a + 30 bulunur. Bu değer yerine yazılırsa b=50−2ab = 50 - 2a elde edilir.
Çözüm kümesini tek bir değişken (a) cinsinden analiz edebilmek için.
3
En çok satılan menünün B menüsü olma koşulunu eşitsizlik olarak uygulayın.
b>ab > a ve b>cb > c olmalıdır. b>c  ⟹  50−2a>a+30  ⟹  20>3a  ⟹  a<203≈6,67b > c \implies 50 - 2a > a + 30 \implies 20 > 3a \implies a < \frac{20}{3} \approx 6,67 elde edilir. Diğer taraftan b>a  ⟹  50−2a>a  ⟹  50>3a  ⟹  a<503≈16,67b > a \implies 50 - 2a > a \implies 50 > 3a \implies a < \frac{50}{3} \approx 16,67 bulunur.
Her iki koşulun da aynı anda sağlanması gerektiği için en dar aralığı bulmak amacıyla.
4
Bulunan aralıktaki en büyük tam sayıyı belirleyin.
a<6,67a < 6,67 eşitsizliğini sağlayan en büyük aa tam sayısı 66'dır. Bu durumda c=36c = 36 ve b=38b = 38 olur ki bu değerler tüm koşulları sağlar.
Menü adedi bir tam sayı olmak zorunda olduğundan bu aralıktaki en büyük tam sayıyı seçeriz.

Anahtar Kavram

Birinci dereceden çok bilinmeyenli denklemlerin belirli tam sayı kısıtları ve eşitsizlikler altında çözülmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru