Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Denklemler

Bir metro hattı üzerindeki üç istasyon; AA, BB ve CC istasyonlarıdır. Bu istasyonların hat üzerindeki konumları bir sayı doğrusuyla modellenmiştir. Sayı doğrusunun başlangıç noktası (00 noktası) AA istasyonudur. BB istasyonu AA'nın 9 km sağında (pozitif yönde), CC istasyonu ise AA'nın 12 km sağında yer almaktadır. Bu metro hattı üzerinde hareket eden bir bakım treni; AA istasyonuna olan uzaklığı ile BB istasyonuna olan uzaklığının farkının mutlak değerinin 2 katı, CC istasyonuna olan uzaklığına eşit olacak şekilde bir xx konumunda durmaktadır. Buna göre, bakım treninin durabileceği farklı konumların (kilometre cinsinden) toplamı kaçtır?

Cevap: 32 km

Cevap

Bakım treninin durabileceği farklı konumların kilometre cinsinden toplamı 32'dir.
Doğru yanıt olan 32 sayısı, denklemin sağlandığı tüm geçerli gerçek sayı konumlarının toplamıdır. Yapılan aralık analizinde x<0x < 0 için x=−6x = -6, 0≤x<4.50 \le x < 4.5 için x=2x = 2, 4.5≤x<94.5 \le x < 9 için x=6x = 6 ve x≥12x \ge 12 için x=30x = 30 kökleri elde edilmektedir. Bu dört kökün toplamı (−6)+2+6+30=32(-6) + 2 + 6 + 30 = 32 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
İstasyonların konumlarını sayı doğrusuna yerleştirip trenin istasyonlara olan uzaklıklarını mutlak değerli ifadelerle yazalım.
AA istasyonu 00 noktasında, BB istasyonu 99 noktasında, CC istasyonu ise 1212 noktasındadır. Trenin konumu xx olsun. AA'ya uzaklık ∣x∣|x|, BB'ye uzaklık ∣x−9∣|x - 9|, CC'ye uzaklık ∣x−12∣|x - 12| olur.
Uzaklık kavramı mutlak değer ile ifade edilir.
2
Soruda verilen ilişkiyi denklem haline getirelim.
2∣∣x∣−∣x−9∣∣=∣x−12∣2||x| - |x - 9|| = |x - 12| denklemi elde edilir.
İstasyonlara olan uzaklıkların farkının mutlak değerinin 2 katı, diğer istasyona olan uzaklığa eşit olarak tanımlanmıştır.
3
Denklemi kritik noktalara göre aralıklara ayırarak çözelim.
Kritik noktalar x=0x = 0, x=4.5x = 4.5 ve x=9x = 9 olup aralık analizleri şöyledir:
- x<0x < 0 için: 2∣−x−(9−x)∣=12−x⇒18=12−x⇒x=−62|-x - (9 - x)| = 12 - x \Rightarrow 18 = 12 - x \Rightarrow x = -6 (Aralıkta, geçerli).
- 0≤x<4.50 \le x < 4.5 için: 2∣x−(9−x)∣=12−x⇒2∣2x−9∣=12−x⇒18−4x=12−x⇒3x=6⇒x=22|x - (9 - x)| = 12 - x \Rightarrow 2|2x - 9| = 12 - x \Rightarrow 18 - 4x = 12 - x \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2 (Aralıkta, geçerli).
- 4.5≤x<94.5 \le x < 9 için: 2(2x−9)=12−x⇒4x−18=12−x⇒5x=30⇒x=62(2x - 9) = 12 - x \Rightarrow 4x - 18 = 12 - x \Rightarrow 5x = 30 \Rightarrow x = 6 (Aralıkta, geçerli).
- 9≤x<129 \le x < 12 için: 2(9)=12−x⇒18=12−x⇒x=−62(9) = 12 - x \Rightarrow 18 = 12 - x \Rightarrow x = -6 (Aralıkta değil).
- x≥12x \ge 12 için: 2(9)=x−12⇒18=x−12⇒x=302(9) = x - 12 \Rightarrow 18 = x - 12 \Rightarrow x = 30 (Aralıkta, geçerli).
Mutlak değerli ifadelerin içini sıfır yapan değerlere göre durum incelemesi yapılmalıdır.
4
Geçerli tüm konumların toplamını hesaplayalım.
Geçerli konumlar: −6,2,6,30-6, 2, 6, 30. Toplamları: (−6)+2+6+30=32(-6) + 2 + 6 + 30 = 32.
Bakım treninin durabileceği tüm farklı konumların toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılarak çözülmesi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru