Examkin

Mutlak Değerli Denklemler

61 soru

Tüm türler61Çoktan seçmeli32Doğru / Yanlış16Sayısal13
Soru 1Soru →

Bir fırında üretilen ekmeklerin ağırlıkları ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Bu fırında üretilen ekmeklerin hedef ağırlığı aa gramdır.
* Fırından çıkan iki farklı ekmeğin ağırlıkları sırasıyla 280280 gram ve 340340 gramdır.
* Bu iki ekmeğin ağırlıklarının, hedef ağırlık olan aa grama olan uzaklıklarının farkının mutlak değeri 2020 gramdır.

Buna göre, hedef ağırlık aa'nın alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç gramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 620

Cevap

Hedef ağırlık a'nın alabileceği değerlerin toplamı 620 gramdır.
Hedef ağırlık olan aa değerinin 280 ile 340 gram arasında olması durumunda, iki ekmeğin bu ağırlığa olan uzaklıkları sırasıyla a−280a - 280 ve 340−a340 - a olur. Bu uzaklıkların farkının mutlak değeri olan ∣2a−620∣=20|2a - 620| = 20 denklemi çözüldüğünde aa değerleri 300 ve 320 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı 620 gramdır.

Adım Adım Çözüm

1
Problemde verilen sözel ifadeleri mutlak değerli bir denkleme dönüştürün.
∣∣a−280∣−∣a−340∣∣=20||a - 280| - |a - 340|| = 20 denklemi elde edilir.
Uzaklık farkının mutlak değeri belirtildiği için iç içe mutlak değer kullanılır.
2
Denklemi çözmek için aa değerini aralıklara ayırarak inceleyin.
a≤280a \le 280 için fark 6060, a≥340a \ge 340 için fark 6060 olur ve çözüm gelmez. 280<a<340280 < a < 340 aralığında ise denklem ∣2a−620∣=20|2a - 620| = 20 şekline dönüşür.
Mutlak değerlerin dışına ifadelerin işaretlerine göre çıkarılması gerekir.
3
∣2a−620∣=20|2a - 620| = 20 denklemini çözün.
2a−620=20⇒a=3202a - 620 = 20 \Rightarrow a = 320 ve 2a−620=−20⇒a=3002a - 620 = -20 \Rightarrow a = 300 bulunur.
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşit olduğunda içi bu sayının pozitif veya negatif değerine eşit olabilir.
4
Bulunan aa değerlerinin toplamını hesaplayın.
300+320=620300 + 320 = 620 bulunur.
Soru kökünde bu değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 2Soru →

Bir sayı doğrusu üzerinde yer alan A(a)A(a) ve B(b)B(b) noktaları için a<ba < b ve bu iki nokta arasındaki uzaklık 66 birimdir. Bu sayı doğrusu üzerinde seçilen bir P(x)P(x) noktasının AA ve BB noktalarına olan uzaklıklarının toplamı 1010 birimdir.

Buna göre, bu ko��ulu sağlayan P(x)P(x) noktaları için x−ax - a ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamının 66 olduğu iddiası doğru mudur?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İddia doğrudur, x−ax - a ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 66'dır.
İddia doğrudur çünkü denklem çözüldüğünde x−ax - a ifadesinin alabileceği değerler −2-2 ve 88 olarak bulunur. Bu değerlerin toplamı −2+8=6-2 + 8 = 6 yapar ve bu da iddia edilen değerle tam olarak eşleşir.

Adım Adım Çözüm

1
Noktalar arasındaki uzaklık ilişkisini belirleme
b−a=6  ⟹  b=a+6b - a = 6 \implies b = a + 6
A(a)A(a) ve B(b)B(b) noktaları arasındaki uzaklığın 66 birim olduğu belirtilmiştir.
2
Uzaklıklar toplamını veren denklemi oluşturma
∣x−a∣+∣x−b∣=10  ⟹  ∣x−a∣+∣x−a−6∣=10|x - a| + |x - b| = 10 \implies |x - a| + |x - a - 6| = 10
P(x)P(x) noktasının A(a)A(a) ve B(b)B(b) noktalarına olan uzaklıkları sırasıyla ∣x−a∣|x - a| ve ∣x−b∣|x - b| olup, bunların toplamı 1010'dur.
3
u=x−au = x - a değişken değiştirmesini uygulama
∣u∣+∣u−6∣=10|u| + |u - 6| = 10
Denklemi daha basit bir formda çözmek ve doğrudan bizden istenen x−ax - a ifadesinin değerlerini bulmak için bu dönüşüm kolaylık sağlar.
4
Denklemi aralık analizi yöntemiyle çözme
u<0u < 0 için u=−2u = -2; 0≤u≤60 \leq u \leq 6 için çözüm yok; u>6u > 6 için u=8u = 8
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar 00 ve 66 olduğundan, denklem bu üç farklı aralıkta incelenir.
5
Bulunan değerleri toplayarak sonucu kontrol etme
−2+8=6-2 + 8 = 6
u=x−au = x - a ifadesinin alabileceği farklı değerler −2-2 ve 88'dir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin sayı doğrusu üzerindeki uzaklık anlamı ve mutlak değerli denklemlerin aralık analizi yöntemiyle çözülmesi.
Soru 3Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının 11 noktasına olan uzaklığı, −5-5 noktasına olan uzaklığının yarısına eşittir.

Buna göre, bu koşulu sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

6
Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklık mutlak değerle ifade edilir. Buna göre xx sayısının 11 noktasına olan uzaklığı ∣x−1∣|x - 1|, −5-5 noktasına olan uzaklığı ise ∣x−(−5)∣=∣x+5∣|x - (-5)| = |x + 5| olur. Verilen koşuldan 2∣x−1∣=∣x+5∣2|x - 1| = |x + 5| denklemi elde edilir. Bu denklem çözüldüğünde x=7x = 7 ve x=−1x = -1 kökleri bulunur. Bu köklerin toplamı ise 6 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusu üzerindeki uzaklık ifadelerini mutlak değer sembolleri kullanarak yazma.
xx gerçek sayısının 11 noktasına olan uzaklığı ∣x−1∣|x - 1| ve −5-5 noktasına olan uzaklığı ∣x−(−5)∣=∣x+5∣|x - (-5)| = |x + 5| şeklinde yazılır.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların farkının mutlak değerine eşittir.
2
Verilen oran ilişkisine göre mutlak değerli denklemi kurma.
∣x−1∣=∣x+5∣2|x - 1| = \frac{|x + 5|}{2} yani 2∣x−1∣=∣x+5∣2|x - 1| = |x + 5| denklemi elde edilir.
Birinci uzaklık ikincinin yarısına eşit olduğundan bu eşitlik kurulur.
3
Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için çözme.
1. Durum: 2(x−1)=x+5⇒2x−2=x+5⇒x=72(x - 1) = x + 5 \Rightarrow 2x - 2 = x + 5 \Rightarrow x = 7
2. Durum: 2(x−1)=−(x+5)⇒2x−2=−x−5⇒3x=−3⇒x=−12(x - 1) = -(x + 5) \Rightarrow 2x - 2 = -x - 5 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1
∣a∣=∣b∣|a| = |b| ise a=ba = b veya a=−ba = -b olmalıdır.
4
Elde edilen xx değerlerini toplama.
7+(−1)=67 + (-1) = 6
Soruda bu koşulu sağlayan tüm xx değerlerinin toplamı istendiği için bulunan kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerde uzaklık kavramının cebirsel ifadesi ve mutlak değer dışına çıkarma kuralları.

Alternatif Yöntem

Sayı doğrusu üzerinde 1'e olan uzaklığın, -5'e olan uzaklığın yarısı olması geometrik olarak da incelenebilir. 1 ve -5 noktaları arasındaki uzaklık 6 birimdir. Aradığımız x noktası bu iki noktanın arasında veya dışında olabilir. İçerideki nokta için oran 1'e 2 olmalıdır; bu durumda x = -1 noktası 1'e 2 birim, -5'e 4 birim uzaklıktadır. Dışarıdaki nokta için x = 7 noktası 1'e 6 birim, -5'e 12 birim uzaklıktadır. Bu iki değerin toplamı 7 + (-1) = 6 olarak bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 4Soru →

Dikey bir doğrultuda hareket eden bir insansız hava aracının (İHA) deniz seviyesine göre yüksekliği (metre cinsinden) xx gerçel sayısı ile modellenmiştir. Bu İHA'nın deniz seviyesinin 44 metre üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı ile deniz seviyesinin 22 metre altındaki bir noktaya olan uzaklığının çarpımı, deniz seviyesine olan uzaklığına eşittir. Buna göre, bu koşulu sağlayan İHA'nın bulunabileceği farklı yükseklik değerlerinin toplamı kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4

Cevap

İHA'nın bulunabileceği farklı yükseklik değerlerinin toplamı 4 metredir.
Verilen sözel ifadeler matematiksel olarak modellendiğinde ∣x−4∣⋅∣x+2∣=∣x∣|x-4| \cdot |x+2| = |x| denklemi elde edilir. Bu denklem ∣x2−2x−8∣=∣x∣|x^2-2x-8|=|x| haline getirildikten sonra iki ayrı gerçel kök üreten ikinci dereceden denkleme ayrılır. Bu denklemlerin diskriminantları pozitif olup toplam 4 farklı gerçel kök bulunur. Vieta formülleri uygulandığında kökler toplamı 4 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi mutlak değerli denklem biçiminde modelleme
∣x−4∣⋅∣x+2∣=∣x∣|x - 4| \cdot |x + 2| = |x|
Uzaklık kavramı mutlak değer ile ifade edilir. +4+4 noktasına uzaklık ∣x−4∣|x - 4|, −2-2 noktasına uzaklık ∣x−(−2)∣=∣x+2∣|x - (-2)| = |x + 2| ve başlangıç noktasına (deniz seviyesine) uzaklık ∣x∣|x| şeklindedir.
2
Mutlak değer özelliklerini kullanarak denklemi sadeleştirme
∣x2−2x−8∣=∣x∣|x^2 - 2x - 8| = |x|
∣a∣⋅∣b∣=∣a⋅b∣|a| \cdot |b| = |a \cdot b| özelliği kullanılarak sol taraftaki çarpım tek bir mutlak değer içine alınır.
3
Mutlak değerli denklemi iki ayrı durum halinde çözme
x2−3x−8=0x^2 - 3x - 8 = 0 veya x2−x−8=0x^2 - x - 8 = 0
∣A∣=∣B∣  ⟹  A=B|A| = |B| \implies A = B veya A=−BA = -B eşitliği kullanılarak mutlak değerler kaldırılır.
4
Denklemlerin gerçel köklerinin varlığını kontrol etme ve kökler toplamını bulma
x1+x2=3x_1 + x_2 = 3 ve x3+x4=1x_3 + x_4 = 1 olup toplam kökler toplamı 3+1=43 + 1 = 4 olur.
Her iki denklemin diskriminantı sıfırdan büyük olduğundan gerçel kökler mevcuttur. Ortak kök bulunmadığı için köklerin tamamı farklıdır. Vieta formülü yardımıyla kökler ayrı ayrı bulunmadan toplamları hesaplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümünde uzaklık kavramının modellenmesi, mutlak değer çarpım özelliği ve ∣A∣=∣B∣|A| = |B| tipindeki denklemlerin çözümü.
Soru 5Soru →

xx bir doğal sayı olmak üzere,

∣x−5∣=7|x - 5| = 7

denklemini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 12

Cevap

Koşulu sağlayan tek doğal sayı değeri olan 12 sayısıdır.
Denklemi sağlayan xx değerleri belirlenirken mutlak değer tanımından faydalanılır. ∣x−5∣=7|x - 5| = 7 ifadesi, x−5=7x - 5 = 7 veya x−5=−7x - 5 = -7 olmak üzere iki farklı durumda incelenir. Buradan x=12x = 12 veya x=−2x = -2 bulunur. Soruda xx sayısının bir doğal sayı olması gerektiği belirtildiğinden, negatif bir sayı olan −2-2 değeri çözüm kümesine dahil edilemez. Bu durumda denklemi sağlayan tek doğal sayı değeri 12 olur ve bu değerlerin toplamı da 12 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için yazalım.
x−5=7x - 5 = 7 veya x−5=−7x - 5 = -7
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşit olduğunda, içerideki ifade bu sayının kendisine veya negatifine eşit olabilir.
2
Her iki denklemi çözerek olası xx değerlerini bulalım.
x=12x = 12 veya x=−2x = -2
Denklemlerdeki −5-5 ifadesini karşı tarafa +5+5 olarak geçirerek bilinmeyeni yalnız bırakırız.
3
Bulunan xx değerlerinin doğal sayı olma koşulunu denetleyelim.
1212 bir doğal sayıdır fakat −2-2 bir doğal sayı değildir. Dolayısıyla sadece x=12x = 12 alınır.
Soruda xx değerinin bir doğal sayı olması gerektiği şartı koşulmuştur.
4
Koşulu sağlayan xx değerlerinin toplamını bulalım.
1212
Koşulu sağlayan tek değer 1212 olduğundan toplamı da kendisidir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümünde mutlak değer tanımını kullanma ve köklerin tanımlı olduğu sayı kümelerini kontrol etme.
Tahmini Süre:1m 0s
Soru 6Soru →

Bir su deposunun gerçek doluluk oranı ile gösterge panelindeki değer arasındaki farkın mutlak değeri sabit bir ee (%) değerine eşittir.

Deponun gerçek doluluk oranı yüzde AA iken göstergedeki değer %72, gerçek doluluk oranı yüzde BB iken göstergedeki değer %80 olarak okunmuştur.

∣A−B∣=6|A - B| = 6

olduğuna göre, bu ölçümlerdeki hata payı olan ee sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Hata payı olan ee değerinin alabileceği farklı değerlerin toplamı 8'dir.
Hata payı olan ee sayısının alabileceği 1 ve 7 değerlerinin toplamı 8'dir. Gerçek doluluk oranları AA ve BB değerlerinin göstergedeki 72 ve 80 değerlerine olan uzaklıkları eşit olduğu için, bu değerlerin orta noktası gösterge değerlerinin de orta noktası olan 76'dır. ∣A−B∣=6|A - B| = 6 olduğundan gerçek değerler 73 ve 79'dur. Bu değerlerin gösterge değerlerine uzaklıkları ise sırasıyla 1 ve 7 birim olup, toplamları 8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen sözel ifadeleri mutlak değerli denklemler olarak yazın.
∣A−72∣=e|A - 72| = e, ∣B−80∣=e|B - 80| = e ve ∣A−B∣=6|A - B| = 6 denklemleri kurulur.
Gerçek doluluk oranları ile gösterge değerleri arasındaki farkın mutlak değeri hata payına eşittir.
2
∣A−72∣=∣B−80∣|A - 72| = |B - 80| eşitliğini kullanarak AA ve BB arasındaki ilişkileri belirleyin.
İki durum vardır:
1) A−72=B−80⇒B−A=8⇒∣A−B∣=8A - 72 = B - 80 \Rightarrow B - A = 8 \Rightarrow |A - B| = 8
2) A−72=−(B−80)⇒A−72=80−B⇒A+B=152A - 72 = -(B - 80) \Rightarrow A - 72 = 80 - B \Rightarrow A + B = 152
Mutlak değerli iki ifadenin eşitliğinde, iç kısımlar ya birbirine eşittir ya da biri diğerinin zıt işaretlisine eşittir.
3
∣A−B∣=6|A - B| = 6 koşuluna göre durumları değerlendirip AA ve BB değerlerini hesaplayın.
Birinci durum ∣A−B∣=6|A - B| = 6 ile çeliştiği için elenir. İkinci durum olan A+B=152A + B = 152 geçerlidir. Buradan:
- A−B=6A - B = 6 ise A=79A = 79 ve B=73B = 73 olur.
- B−A=6B - A = 6 ise A=73A = 73 ve B=79B = 79 olur.
Soruda iki oran arasındaki farkın mutlak değerinin 6 olduğu açıkça belirtilmiştir.
4
Elde edilen AA ve BB değerlerine göre hata payı olan ee değerlerini hesaplayıp toplayın.
- A=79A = 79 için e=∣79−72∣=7e = |79 - 72| = 7 olur.
- A=73A = 73 için e=∣73−72∣=1e = |73 - 72| = 1 olur.
Değerler toplamı: 7+1=87 + 1 = 8 olarak bulunur.
Hata payının alabileceği tüm olası durumların toplamını bulmak amacıyla hesaplama tamamlanır.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler

Alternatif Yöntem

Mutlak değerli denklemler sayı doğrusunda uzaklık olarak da düşünülebilir. AA ve BB noktalarının sırasıyla 72 ve 80 sayılarına olan uzaklıkları eşit ve ee birimdir. Bu durum, AA ve BB noktalarının orta noktasının 72 ile 80'in tam ortası olan 76 sayısı olduğunu gösterir. AA ile BB arasındaki uzaklık 6 birim olduğuna göre, bu noktalar 76'nın 3 birim solunda ve 3 birim sağında yer alır. Buradan noktalar 73 ve 79 olarak bulunur. Bu noktaların 72 ve 80'e uzaklıkları hesaplanarak ee değerleri 1 ve 7 olarak elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 7Soru →

Bir dijital termometrenin ölçüm hassasiyetinden dolayı, ekranda gösterilen sıcaklık değeri (TT °C) ile ölçülen ortamın gerçek sıcaklık değeri (xx °C) arasındaki ilişki

∣x−T∣=1.5|x - T| = 1.5

denklemi ile belirlenmektedir.

Ortamın gerçek sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin çarpımı 1818 olduğuna göre, termometrenin ekranında gösterilen TT sıcaklık değerinin alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 4.5

Cevap

Termometrenin ekranında gösterilen TT sıcaklık değerinin alabileceği pozitif değer 4.54.5'tir.
Gerçek sıcaklığın alabileceği değerler T+1.5T + 1.5 ve T−1.5T - 1.5 olup, bunların çarpımı iki kare farkı özdeşliğinden T2−2.25=18T^2 - 2.25 = 18 denklemini verir. Buradan T2=20.25T^2 = 20.25 elde edilir. Bu denklemi sağlayan pozitif TT değeri 4.54.5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
∣x−T∣=1.5|x - T| = 1.5 denklemini mutlak değer özelliklerini kullanarak iki ayrı denklem olarak yazalım.
x−T=1.5  ⟹  x1=T+1.5x - T = 1.5 \implies x_1 = T + 1.5 ve x−T=−1.5  ⟹  x2=T−1.5x - T = -1.5 \implies x_2 = T - 1.5 olur.
Bir gerçek sayının mutlak değeri pozitif bir sayıya eşit olduğunda, mutlak değerin içi bu sayıya ya da bu sayının negatiflisine eşit olmalıdır.
2
Gerçek sıcaklığın alabileceği farklı değerlerin (x1x_1 ve x2x_2) çarpımını 1818'e eşitleyelim.
(T+1.5)⋅(T−1.5)=18  ⟹  T2−1.52=18  ⟹  T2−2.25=18(T + 1.5) \cdot (T - 1.5) = 18 \implies T^2 - 1.5^2 = 18 \implies T^2 - 2.25 = 18 elde edilir.
Soruda gerçek sıcaklığın alabileceği değerlerin çarpımının 1818 olduğu verilmiştir. İki kare farkı özdeşliği kullanılarak çarpım kolayca basitleştirilir.
3
T2−2.25=18T^2 - 2.25 = 18 denklemini çözerek pozitif TT değerini bulalım.
T2=20.25  ⟹  T=4.5T^2 = 20.25 \implies T = 4.5 veya T=−4.5T = -4.5 bulunur. Pozitif değer istendiği için yanıt 4.54.5 olur.
4.54.5 sayısının karesi 20.2520.25'tir ve bizden pozitif değer istenmektedir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 8Soru →

Bir çikolata üretim tesisindeki temperleme makinesinin hazne sıcaklığı TT (°C) olmak üzere, bu makinenin ideal çalışma aralığı ile oda sıcaklığı dd (°C) arasındaki ilişki, kontrol ünitesi tarafından

∣∣T−18∣−d∣=6| |T - 18| - d | = 6

denklemiyle kontrol edilmektedir. Odanın sıcaklığı dd pozitif bir değerdir.

Hazne sıcaklığı TT değerinin alabileceği tam olarak 3 farklı gerçek sayı değeri bulunduğuna göre, oda sıcaklığı (dd) kaç °C'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 6

Cevap

Hazne sıcaklığı T değerinin alabileceği 3 farklı gerçek sayı değeri bulunması için oda sıcaklığı d'nin değeri 6 olmalıdır.
Çikolata temperleme makinesinin hazne sıcaklığı denklemi ∣∣T−18∣−d∣=6| |T - 18| - d | = 6 şeklinde verilmiştir. Bu denklem ∣T−18∣=d+6|T - 18| = d + 6 ve ∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6 olmak üzere iki alt denkleme ayrışır. Oda sıcaklığı d>0d > 0 olduğu için d+6>0d + 6 > 0 olur ve birinci denklemden her durumda iki farklı TT değeri gelir. Toplamda 3 farklı TT değeri elde edilebilmesi için ikinci denklemden (∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6) tam olarak 1 kök gelmelidir. Bir mutlak değerli denklemin tek bir kökünün olması ise ancak mutlak değerin eşit olduğu ifadenin sıfır olmasıyla mümkündür. Buradan d−6=0  ⟹  d=6d - 6 = 0 \implies d = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi mutlak değer özelliklerini kullanarak iki ayrı denkleme dönüştürmek.
∣T−18∣−d=6|T - 18| - d = 6 veya ∣T−18∣−d=−6|T - 18| - d = -6
∣A∣=B|A| = B biçimindeki denklemler A=BA = B veya A=−BA = -B olarak çözülür.
2
Birinci denklem olan ∣T−18∣=d+6|T - 18| = d + 6 ifadesinin kök sayısını belirlemek.
d>0d > 0 olduğu için d+6>0d + 6 > 0 olur ve bu denklemden her zaman iki farklı gerçek sayı kökü gelir.
Pozitif bir sayıya eşit olan mutlak değerli denklemlerin daima iki farklı reel kökü vardır.
3
İkinci denklem olan ∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6 ifadesinin kök sayısını d parametresine bağlı olarak incelemek.
d−6>0  ⟹  2d - 6 > 0 \implies 2 kök, d−6<0  ⟹  0d - 6 < 0 \implies 0 kök, d−6=0  ⟹  1d - 6 = 0 \implies 1 kök (T=18T = 18) elde edilir.
Mutlak değerli bir denklemin tek kökünün olması için karşı tarafın sıfıra eşit olması gerekir.
4
Toplam kök sayısının 3 olması koşulunu uygulamak.
Birinci denklemden 2 kök geldiği için, toplamda 3 farklı kök olması amacıyla ikinci denklemden tam olarak 1 kök gelmelidir. Buradan d−6=0  ⟹  d=6d - 6 = 0 \implies d = 6 bulunur.
Kök sayısının tam olarak 3 olması, ikinci denklemin sıfıra eşit olmasını ve tek bir kök üretmesini gerektirir.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerin kök sayısının incelenmesi ve mutlak değerin tanım kümesi sınırları.
Soru 9Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının 11 noktasına olan uzaklığı ile −3-3 noktasına olan uzaklığının çarpımı 55 birim ise bu koşulu sağlayan tüm xx gerçek sayılarının çarpımı −8-8'dir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Doğru çözüm yapıldığında elde edilen gerçek kökler −4-4 ve 22 olup bunların çarpımı −8-8'dir, bu nedenle ifade doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayı doğrusu üzerindeki uzaklıkları mutlak değer cinsinden yazın.
xx sayısının 11 noktasına uzaklığı ∣x−1∣|x - 1|, −3-3 noktasına uzaklığı ise ∣x+3∣|x + 3| olur.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık, bu noktaların farkının mutlak değerine eşittir.
2
Uzakl��kların çarpımını 55'e eşitleyip denklemi kurun.
∣x−1∣⋅∣x+3∣=5  ⟹  ∣x2+2x−3∣=5|x - 1| \cdot |x + 3| = 5 \implies |x^2 + 2x - 3| = 5
Mutlak değerlerin çarpımı, çarpımların mutlak değerine eşittir (∣a∣⋅∣b∣=∣ab∣|a| \cdot |b| = |ab|).
3
Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için çözün.
Birinci durum: x2+2x−3=5  ⟹  x2+2x−8=0  ⟹  (x+4)(x−2)=0  ⟹  x1=−4x^2 + 2x - 3 = 5 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x+4)(x-2) = 0 \implies x_1 = -4, x2=2x_2 = 2. İkinci durum: x2+2x−3=−5  ⟹  x2+2x+2=0x^2 + 2x - 3 = -5 \implies x^2 + 2x + 2 = 0 denkleminin Δ=−4<0\Delta = -4 < 0 olduğundan gerçek kökü yoktur.
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşitse, içi bu sayının kendisine veya negatifine eşit olmalıdır.
4
Bulunan gerçek köklerin çarpımını hesaplayın.
(−4)⋅2=−8(-4) \cdot 2 = -8
Denklemi sağlayan tüm gerçek xx değerlerinin çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklığın mutlak değer yardımıyla ifade edilmesi ve mutlak değerli denklemlerin gerçek sayılar kümesindeki çözüm yöntemleri.
Soru 10Soru →

Deniz seviyesinin altında bulunan bir denizaltının, başlangıçtaki konumundan 150 metre150\text{ metre} aşağıya veya 150 metre150\text{ metre} yukarıya hareket ettiğinde deniz seviyesine olan uzaklığı her iki durumda da 400 metre400\text{ metre} olmaktadır.

Buna göre, bu denizaltının başlang��çtaki konumunun deniz seviyesine olan uzaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç metredir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 800

Cevap

Başlangıçtaki derinliğin alabileceği farklı değerlerin toplamı 800 metredir.
Denizaltının başlangıçtaki derinliği xx metre olsun. 150 metre150\text{ metre} aşağıya veya yukarıya hareket ettiğinde deniz seviyesine uzaklığı 400 metre oluyorsa, xx değerinin 400400 noktasına uzaklığı 150150 metredir. Bu durum ∣x−400∣=150|x - 400| = 150 denklemi ile ifade edilir. Buradan x−400=150⇒x=550x - 400 = 150 \Rightarrow x = 550 veya x−400=−150⇒x=250x - 400 = -150 \Rightarrow x = 250 elde edilir. Bu değerlerin toplamı 550+250=800550 + 250 = 800 olduğundan doğru yanıt 800 seçeneğidir.

Adım Adım Çözüm

1
Denizaltının başlangıç derinliğini bir değişkenle ifade etme ve harekete bağlı denklemi kurma.
Denizaltının başlangıçtaki derinliği xx metre olsun (x>0x > 0). 150 metre150\text{ metre} aşağıya hareket ettiğinde yeni derinliği x+150x + 150 metre, 150 metre150\text{ metre} yukarıya hareket ettiğinde ise x−150x - 150 metre olur. Soruda verilen bilgiye göre bu iki durumdaki derinlik de 400 metre400\text{ metre} ye eşit olduğundan, ∣x−400∣=150|x - 400| = 150 denklemi kurulur.
Uzaklık ve derinlik değişimlerini mutlak değerli denklem modeliyle temsil etmek için.
2
Mutlak değerli denklemi çözerek xx değerlerini bulma.
x−400=150⇒x=550x - 400 = 150 \Rightarrow x = 550 veya x−400=−150⇒x=250x - 400 = -150 \Rightarrow x = 250 olarak bulunur.
Mutlak değer dışına çıkarma kurallarını uygulayarak olası tüm başlangıç derinliklerini belirlemek için.
3
Bulunan farklı derinlik değerlerini toplama.
550+250=800550 + 250 = 800 metre.
Soruda bizden başlangıç konumunun alabileceği farklı değerlerin toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin sayı doğrusundaki uzaklık tanımı ve mutlak değerli denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:1m 30s
Soru 11Soru →

Bir asansörün taşıyabileceği ideal yük miktarı 400 kg400\text{ kg} olarak belirlenmiştir. Bu asansör, ideal yük miktarından en fazla 50 kg50\text{ kg} sapma (eksik veya fazla) gösteren yükleri güvenli bir şekilde taşıyabilmektedir. Güvenli taşıma sınırındaki bir yükün ağırlığı x kgx\text{ kg} olmak üzere, bu durum ∣x−400∣=50|x - 400| = 50 denklemi ile ifade edilmektedir. Buna göre, asansörün güvenli sınırlarında taşıyabileceği en büyük yük miktarı ile en küçük yük miktarının toplamı kaç kilogramdır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 800

Cevap

Asansörün güvenli sınırlarında taşıyabileceği en büyük yük miktarı ile en küçük yük miktarının toplamı 800 kg800\text{ kg}'dır.
Güvenli taşıma sınırındaki yük miktarlarını belirleyen ∣x−400∣=50|x - 400| = 50 denkleminin çözümü için mutlak değerin içi 5050 veya −50-50 olmalıdır. Buradan elde edilen sınır değerler 450 kg450\text{ kg} ve 350 kg350\text{ kg} olup, bu değerlerin toplamı 800 kg800\text{ kg} olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli denklemin birinci durumunu çözme (x−400=50x - 400 = 50)
x=450x = 450
Mutlak değerin içindeki ifade pozitif veya sıfır kabul edilerek dışarıya aynen çıkarılır.
2
Mutlak değerli denklemin ikinci durumunu çözme (x−400=−50x - 400 = -50)
x=350x = 350
Mutlak değerin içindeki ifadenin negatif olabileceği düşünülerek dışarıdaki değerin eksilisine eşitlenir.
3
Bulunan en büyük ve en küçük değerlerin toplanması (450+350450 + 350)
800800
Soruda güvenli taşıma sınırındaki en büyük ve en küçük değerlerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki bir noktaya olan uzaklığını ifade eden mutlak değerli denklemlerin çözümü.
Soru 12Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının 44 noktasına olan uzaklığı, −2-2 noktasına olan uzaklığının 22 katına eşitse, bu koşulu sağlayan xx değerlerinin toplamı 00'dır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: False

Cevap

İfade yanlıştır çünkü bu koşulu sağlayan gerçek sayıların toplamı 00 değil, −8-8'dir.
Doğru yanıt ifadenin yanlış olduğudur. Çünkü denklemden elde edilen kökler x=−8x = -8 ve x=0x = 0 olup toplamları −8-8'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık kavramını mutlak değer kullanarak denklem haline getirin.
xx sayısının 44'e uzaklığı ∣x−4∣|x - 4|, −2-2'ye uzaklığı ∣x−(−2)∣=∣x+2∣|x - (-2)| = |x + 2| olduğundan denklem ∣x−4∣=2∣x+2∣|x - 4| = 2|x + 2| şeklindedir.
Sayı doğrusu üzerindeki iki nokta arasındaki uzaklık, bu iki noktanın farkının mutlak değeri ile ifade edilir.
2
Mutlak değerli denklemi iki farklı durum için açarak çözün.
Birinci durum: x−4=2(x+2)  ⟹  x−4=2x+4  ⟹  x=−8x - 4 = 2(x + 2) \implies x - 4 = 2x + 4 \implies x = -8. İkinci durum: x−4=−2(x+2)  ⟹  x−4=−2x−4  ⟹  3x=0  ⟹  x=0x - 4 = -2(x + 2) \implies x - 4 = -2x - 4 \implies 3x = 0 \implies x = 0.
∣A∣=∣B∣|A| = |B| veya ∣A∣=k∣B∣|A| = k|B| tarzı denklemlerde, ifadeler ya birbirine doğrudan eşittir ya da biri diğerinin negatif işaretlisine eşittir.
3
Bulunan xx değerlerini toplayın.
−8+0=−8-8 + 0 = -8.
Soruda verilen ifadedeki iddia ile karşılaştırma yapmak ve doğru toplamı belirlemek için kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözümü ve uzaklık kavramının cebirsel ifadesi.
Soru 13Soru →

Bir sayı doğrusu üzerinde yer alan AA, BB ve CC teslimat noktalarının koordinatları sırasıyla aa, bb ve cc gerçek sayılarıdır. Bu noktaların koordinatları arasında a<b<ca < b < c sıralaması bulunmakta ve BB noktası, AA ile CC noktalarının tam ortasında yer almaktadır.

Bu sayı doğrusu üzerinde konumlandırılacak bir xx kontrol noktasının AA ve CC noktalarına olan uzaklıklarının toplamı, BB noktasına olan uzaklığının 33 katına eşittir.

Bu koşulu sağlayan yalnızca iki farklı xx gerçek sayısı bulunmakta ve bu sayıların toplamı 1616 olmaktadır.

Buna göre, BB noktasının koordinatı olan bb değeri kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

B noktasının koordinatı olan b değeri 8'dir.
B noktası, A ve C noktalarının orta noktası olduğundan, A ve C noktalarına olan uzaklıklar toplamı B noktasına göre simetriktir. u=x−bu = x - b dönüşümü yapıldığında elde edilen ∣u+d∣+∣u−d∣=3∣u∣|u + d| + |u - d| = 3|u| denkleminin çözümleri u=±2d3u = \pm \frac{2d}{3} olur. Buradan xx değerleri b−2d3b - \frac{2d}{3} ve b+2d3b + \frac{2d}{3} olarak bulunur. Bu iki değerin toplamı 2b2b olup 2b=162b = 16 eşitliğinden b=8b = 8 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
B noktasının, A ve C noktalarının tam ortasında olmasını matematiksel olarak ifade etmek.
∣b−a∣=∣c−b∣=d>0|b - a| = |c - b| = d > 0 olsun. Buradan a=b−da = b - d ve c=b+dc = b + d yazılabilir.
Sayı doğrusunda simetriyi kullanarak değişken sayısını azaltmak ve denklemi sadeleştirmek.
2
Soruda verilen uzaklık ilişkisini mutlak değerli denklem olarak yazıp yeni değişkene göre düzenlemek.
∣x−a∣+∣x−c∣=3∣x−b∣|x - a| + |x - c| = 3|x - b| denkleminde a=b−da = b-d ve c=b+dc = b+d yazılırsa: ∣x−(b−d)∣+∣x−(b+d)∣=3∣x−b∣|x - (b - d)| + |x - (b + d)| = 3|x - b| elde edilir. Burada u=x−bu = x - b değişken değiştirmesi yapılırsa denklem ∣u+d∣+∣u−d∣=3∣u∣|u + d| + |u - d| = 3|u| hâline gelir.
Denklemi b noktasına göre simetrik hâle getirerek çözümü kolaylaştırmak.
3
∣u+d∣+∣u−d∣=3∣u∣|u + d| + |u - d| = 3|u| denkleminin çözüm kümesini u değerleri için bulmak.
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan kritik noktalar −d-d, 00 ve dd'dir. Kritik noktalara göre aralık incelemesi yapıldığında, u≥du \ge d ve u<−du < -d için çözüm gelmezken, 0≤u<d0 \le u < d için u=2d3u = \frac{2d}{3} ve −d≤u<0-d \le u < 0 için u=−2d3u = -\frac{2d}{3} çözümleri elde edilir.
Mutlak değerlerin işaret incelemesini yaparak tüm olası kökleri tespit etmek.
4
Bulunan u çözümlerini x değişkenine geri dönüştürerek x değerlerinin toplamını eşitlemek.
x1=b+2d3x_1 = b + \frac{2d}{3} ve x2=b−2d3x_2 = b - \frac{2d}{3} olur. Bu iki değerin toplamı x1+x2=2bx_1 + x_2 = 2b olur. Soruda kökler toplamı 16 verildiğinden, 2b=16  ⟹  b=82b = 16 \implies b = 8 olarak bulunur.
Köklerin toplamı bilgisini kullanarak b parametresini hesaplamak.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin kritik noktalarına göre aralık incelemesi yapılarak çözülmesi ve simetrik değişken değiştirme yöntemiyle basitleştirilmesi.
Soru 14Soru →

Sayı doğrusu üzerinde bir xx gerçek sayısının 22 noktasına olan uzaklığı 55 birimdir.

Buna göre, xx sayısının alabileceği farklı değerlerin çarpımı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -21

Cevap

Alabileceği farklı değerlerin çarpımı −21-21 olur.
Sayı doğrusunda bir xx sayısının 22 noktasına olan uzaklığı ∣x−2∣|x - 2| ile gösterilir. Bu uzaklık 55 birim olarak verildiği için denklem ∣x−2∣=5|x - 2| = 5 olur. Bu eşitliği sağlayan değerler x−2=5⇒x=7x - 2 = 5 \Rightarrow x = 7 ve x−2=−5⇒x=−3x - 2 = -5 \Rightarrow x = -3 olarak bulunur. Farklı xx değerlerinin çarpımı ise 7×(−3)=−217 \times (-3) = -21 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değer tanımını kullanarak denklemi kurmak.
∣x−2∣=5|x - 2| = 5 denklemi elde edilir.
Sayı doğrusunda bir xx sayısının aa sayısına olan uzaklığı ∣x−a∣|x - a| ifadesi ile gösterilir.
2
Mutlak değerli denklemin iki farklı durumunu yazarak çözmek.
x−2=5x - 2 = 5 veya x−2=−5x - 2 = -5 eşitlikleri yazılır.
Mutlak değeri 55 olan iki sayı vardır: 55 ve −5-5.
3
Elde edilen birinci dereceden denklemlerden xx değerlerini çekmek.
x=7x = 7 ve x=−3x = -3 bulunur.
Her iki denklemde de −2-2 karşı tarafa +2+2 olarak geçirilerek xx yalnız bırakılır.
4
Bulunan farklı xx değerlerini çarpmak.
7×(−3)=−217 \times (-3) = -21 elde edilir.
Soru kökünde bu değerlerin çarpımı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin sayı doğrusundaki uzaklık anlamı ve mutlak değerli denklemlerin çözümü.
Soru 15Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ∣3x−15∣=−5|3x - 15| = -5 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

Verilen ifade doğrudur.
Mutlak değer fonksiyonunun tanımı gereği, elde edilen sonuç negatif olamaz. ∣3x−15∣=−5|3x - 15| = -5 eşitliğinde mutlak değer negatif bir sayıya eşitlendiği için denklemin çözüm kümesi boş kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sağ tarafındaki değerin işaretini inceleme
Eşitliğin sağ tarafındaki değer −5-5 olup negatiftir.
Mutlak değerli bir ifadenin eşit olduğu sayının pozitiflik veya negatiflik durumunu belirlemek çözümün varlığını kontrol etmek için ilk adımdır.
2
Mutlak değerin temel tanımını uygulama
Her xx gerçek sayısı için ∣3x−15∣≥0|3x - 15| \geq 0 olmalıdır.
Mutlak değer bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığını temsil eder ve uzaklık negatif olamaz.
3
Çözüm kümesini yazma
Denklemi sağlayan bir xx gerçek sayısı bulunmadığından çözüm kümesi boş kümedir (∅\emptyset).
∣3x−15∣≥0|3x - 15| \geq 0 ifadesi ile −5<0-5 < 0 değerinin eşitlenmesi çelişki oluşturur.

Anahtar Kavram

Bir mutlak değerli ifadenin sonucu negatif bir gerçek sayıya eşit olamaz.
Soru 16Soru →

Bir soğuk hava deposunun sıcaklığı TT (°C) bir doğal sayı olmak üzere, ideal sıcaklık olan 8∘C8^\circ\text{C} ile mevcut sıcaklık arasındaki farkın mutlak değerini veren denklem

∣T−8∣=12|T - 8| = 12

olarak belirlenmiştir.

Buna göre, deponun sıcaklığının alabileceği de��erlerin toplamı kaç °C'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 20

Cevap

Deponun sıcaklığının alabileceği değerlerin toplamı 20'dir.
Deponun sıcaklığının alabileceği değerlerin toplamı 20'dir. ∣T−8∣=12|T - 8| = 12 denklemi çözüldüğünde T−8=12T - 8 = 12 veya T−8=−12T - 8 = -12 olmalıdır. Buradan T=20T = 20 veya T=−4T = -4 bulunur. Soruda sıcaklığın bir doğal sayı olduğu belirtildiğinden T=−4T = -4 değeri alınamaz. Dolayısıyla sıcaklığın alabileceği tek değer 20 olur ve bu değerlerin toplamı da 20'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli denklemi iki durum için açın.
T−8=12T - 8 = 12 veya T−8=−12T - 8 = -12
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşit olduğunda, mutlak değerin içi bu sayının kendisine veya negatifine eşit olabilir.
2
Her iki denklemi de çözerek olası TT değerlerini bulun.
T=20T = 20 veya T=−4T = -4
Bilinmeyeni yalnız bırakmak için eşitliğin her iki tarafına 8 eklenir.
3
Bulunan köklerin tanımlanan sayı kümesine uygunluğunu kontrol edin.
T=20T = 20 (doğal sayı), T=−4T = -4 (doğal sayı değil)
Soruda sıcaklığın bir doğal sayı olduğu belirtilmiştir. Negatif sayılar doğal sayı kümesine dahil değildir.
4
Koşulu sağlayan değerlerin toplamını hesaplayın.
Toplam = 20
Koşulu sağlayan tek değer 20 olduğundan toplam da 20 olur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin çözüm kümesi ve sayı kümeleriyle ilişkisi
Soru 17Soru →

Bir hassas sıcaklık ölçer cihazı, bulunduğu ortamın gerçek sıcaklığı olan TT değeri ile kendi ekranında gösterdiği sıcaklık değeri olan xx arasındaki farkı ölçmektedir. Bu cihazda, gerçek sıcaklık ile gösterilen sıcaklık değeri arasındaki farkın mutlak değerinin, gösterilen sıcaklık değerinin 22 katının 3∘C3^\circ\text{C} eksiğine eşit olduğu bilinmektedir.

Ortamın gerçek sıcaklığı 24∘C24^\circ\text{C} olduğuna göre, cihazın ekranında görünebilecek farklı sıcaklık değerlerinin toplamı kaç ∘C^\circ\text{C}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 9

Cevap

Cihazın ekranında görünebilecek farklı sıcaklık değerlerinin toplamı 9'dur.
Denklemin çözümünden elde edilen aday köklerden yalnızca 9 değeri tanımlı olma koşulunu (x≥1,5x \geq 1,5) sağlar. Diğer aday kök olan -21 değeri, eşitliğin sağ tarafını negatif yaptığı için elenir. Dolayısıyla, ekran üzerinde görünebilecek tek değer 9'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen sözel ifadeyi matematiksel bir denkleme dönüştürün.
∣24−x∣=2x−3|24 - x| = 2x - 3 denklemi elde edilir.
Gerçek sıcaklık ile gösterilen sıcaklık arasındaki farkın mutlak değeri ∣24−x∣|24 - x| olup, bu değer gösterilen sıcakl��ğın 2 katının 3 eksiği olan 2x−32x - 3 ifadesine eşittir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki ifadenin mutlak değer tanımı gereği negatif olamayacağı koşulunu belirleyin.
2x−3≥0  ⟹  x≥1,52x - 3 \geq 0 \implies x \geq 1,5 olmalıdır.
Bir mutlak değerli ifadenin sonucu negatif bir sayıya eşit olamaz.
3
Mutlak değerli denklemi iki ayrı durumda inceleyerek çözün.
Birinci durum: 24−x=2x−3  ⟹  3x=27  ⟹  x=924 - x = 2x - 3 \implies 3x = 27 \implies x = 9. İkinci durum: 24−x=−(2x−3)  ⟹  24−x=−2x+3  ⟹  x=−2124 - x = -(2x - 3) \implies 24 - x = -2x + 3 \implies x = -21.
Mutlak değerin içi ya sağdaki ifadeye ya da onun ters işaretlisine eşittir.
4
Elde edilen köklerin tanımlı olma koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=9x = 9 değeri x≥1,5x \geq 1,5 koşulunu sağlarken, x=−21x = -21 değeri bu koşulu sağlamaz ve elenir.
x=−21x = -21 için 2x−3=2(−21)−3=−45<02x - 3 = 2(-21) - 3 = -45 < 0 olmaktadır ve mutlak değer negatif bir sayıya eşit olamaz.
5
Koşulu sağlayan farklı sıcaklık değerlerinin toplamını bulun.
Toplam değer 9 olarak bulunur.
Tek geçerli kök x=9x = 9 olduğu için toplam da 9'dur.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir denklemin çözüm kümesi bulunurken, mutlak değerin eşit olduğu ifadenin negatif olamayacağı koşulu göz önünde bulundurulmalıdır.
Soru 18Soru →

Bir hava sıcaklığı ölçümünde, ölçülen sıcaklık değerinin −4∘C-4^\circ\text{C} değerine olan uzaklığı 6∘C6^\circ\text{C} olarak belirlenmiştir.

Ölçülen sıcaklık sıfırın altında bir değer olduğuna göre, bu sıcaklık kaç ∘C\circ\text{C}'dir?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -10

Cevap

Sıcaklığın sıfırın altında olduğu belirtildiği için elde edilen köklerden negatif olan −10-10 değeri doğru cevaptır.
Uzaklık tanımından elde edilen ∣x+4∣=6|x + 4| = 6 denkleminin kökleri 22 ve −10-10 olup, sıcaklığın sıfırın altında olduğu koşulundan dolayı doğru değer −10-10 olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

1
Ölçülen sıcaklığı xx olarak tanımlayıp −4∘C-4^\circ\text{C}'ye olan uzaklık denklemini yazmak.
∣x−(−4)∣=∣x+4∣=6|x - (-4)| = |x + 4| = 6
Bir sayının başka bir sayıya uzaklığı, bu iki sayının farkının mutlak değeriyle ifade edilir.
2
Mutlak değerli denklemi iki durum için çözmek.
x+4=6⇒x=2x + 4 = 6 \Rightarrow x = 2 veya x+4=−6⇒x=−10x + 4 = -6 \Rightarrow x = -10
Mutlak değerli bir ifade pozitif bir sayıya eşitse, içi bu sayının kendisine veya negatiflisine eşittir.
3
Sıfırın altında olma koşulunu kontrol etmek.
x<0⇒x=−10x < 0 \Rightarrow x = -10
Ölçülen sıcaklığın sıfırın altında (negatif) olduğu belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Bir gerçek sayının sayı doğrusu üzerindeki bir noktaya olan uzaklığı mutlak değer ile ifade edilir. ∣x−a∣=b|x - a| = b denklemi x−a=bx - a = b veya x−a=−bx - a = -b durumları incelenerek çözülür.
Soru 19Soru →

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı ∣x2−4x∣=∣x−4∣|x^2 - 4x| = |x - 4| denkleminin çözüm kümesi 3 elemanlıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: True

Cevap

İfade doğrudur; çünkü verilen denklemin çözüm kümesi {−1,1,4}\{-1, 1, 4\} olmak üzere tam olarak 3 elemandan oluşmaktadır.
İfadenin doğru olmasının nedeni, denklemi sağlayan köklerin x = 4, x = 1 ve x = -1 olmak üzere 3 tane olması ve çözüm kümesinin 3 elemanlı olmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin her iki yanındaki mutlak değerli ifadeleri çarpanlarına ayırarak ortak terimi belirleyin.
∣x(x−4)∣=∣x−4∣⇒∣x∣⋅∣x−4∣=∣x−4∣|x(x-4)| = |x-4| \Rightarrow |x| \cdot |x-4| = |x-4|
Ortak bir çarpan elde ederek denklemi daha basit hale getirmek.
2
Ortak çarpan olan ∣x−4∣|x-4| ifadesini sıfır yapan değeri inceleyin.
x−4=0⇒x=4x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 kökü bulunur.
Her iki tarafı sadeleştirmeden önce, sadeleştirilecek terimin sıfır olma durumu denklemin bir kökünü verir.
3
x≠4x \neq 4 için her iki tarafı ∣x−4∣|x-4| ile sadeleştirerek kalan denklemi çözün.
∣x∣=1⇒x=1|x| = 1 \Rightarrow x = 1 veya x=−1x = -1
Sıfırdan farklı ortak terimler sadeleştirilerek bilinmeyen diğer kökler tespit edilir.
4
Bulunan tüm kökleri bir araya getirerek çözüm kümesini yazın.
Çözüm kümesi {−1,1,4}\{-1, 1, 4\} olup eleman sayısı 3'tür.
Denklemi sağlayan tüm gerçek sayı değerlerinin kümesini belirlemek.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yaparken kök kaybetmeme kuralı.

Alternatif Yöntem

Denklemin her iki tarafının karesi alınarak da çözüme ulaşılabilir: (x2−4x)2=(x−4)2⇒[x(x−4)]2−(x−4)2=0⇒(x−4)2(x2−1)=0(x^2 - 4x)^2 = (x - 4)^2 \Rightarrow [x(x-4)]^2 - (x-4)^2 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 (x^2 - 1) = 0. Buradan (x−4)2=0⇒x=4(x-4)^2 = 0 \Rightarrow x=4 ve x2−1=0⇒x=1x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x=1 veya x=−1x=-1 elde edilir. Bu yöntem mutlak değerlerin dışarı nasıl çıkacağını düşünme zorunluluğunu ortadan kaldırır.
Tahmini Süre:2m 0s
Soru 20Soru →

Bir laboratuvardaki kimyasal sıvının sıcaklığı t∘Ct^\circ\text{C} olarak ölçülmüştür. Bu sıcaklık değerinin 3∘C3^\circ\text{C} değerine olan uzaklığı 5∘C5^\circ\text{C} olduğuna göre, tt değişkeninin alabileceği farklı doğal sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 8

Cevap

Farklı doğal sayı değerlerinin toplamı 8'dir
Kimyasal sıvının sıcaklığı tt olmak üzere, bu değerin 33 değerine olan uzaklığı ∣t−3∣|t - 3| olarak ifade edilir. Bu uzaklık 55 birim olduğundan ∣t−3∣=5|t - 3| = 5 denklemi elde edilir. Mutlak değer tanımından, t−3=5t - 3 = 5 veya t−3=−5t - 3 = -5 olmalıdır. Buradan kökler sırasıyla t=8t = 8 ve t=−2t = -2 olarak bulunur. tt değişkeninin bir doğal sayı olması gerektiği belirtildiğinden, negatif bir sayı olan −2-2 elenir. Bu durumda denklemi sağlayan tek doğal sayı değeri 88 olup, bu değerlerin toplamı da 88'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Sıcaklık değerinin 3∘C3^\circ\text{C} değerine olan uzaklığını mutlak değerli denklem olarak ifade etme
∣t−3∣=5|t - 3| = 5
Bir sayının diğer bir sayıya uzaklığı, bu iki sayının farkının mutlak değeri alınarak hesaplanır.
2
Mutlak değerli denklemin köklerini bulmak için iki farklı durum olarak çözme
t−3=5⇒t=8t - 3 = 5 \Rightarrow t = 8 ve t−3=−5⇒t=−2t - 3 = -5 \Rightarrow t = -2
Mutlak değer içerisindeki ifade, dışarıdaki pozitif değerin kendisine veya negatifine eşit olabilir.
3
Bulunan değerlerin doğal sayı olma koşulunu sağlama durumunu inceleme
88 sayısı doğal sayılar kümesinin bir elemanıdır (8∈N8 \in \mathbb{N}), ancak −2-2 sayısı bir doğal sayı değildir (−2∉N-2 \notin \mathbb{N})
Soruda sıvı sıcaklığı tt'nin doğal sayı değerlerinin toplamı istenmiştir.
4
Koşulu sağlayan doğal sayı değerlerinin toplamını hesaplama
Toplam =8= 8
Koşulu sağlayan tek bir doğal sayı kökü bulunduğundan, toplamın değeri de doğrudan bu köke eşittir.

Anahtar Kavram

Mutlak Değerli Denklemler
Tahmini Süre:1m 0s
Sayfa 1 / 4Sonraki
Mutlak Değerli Denklemler Alıştırma Soruları — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi) | Examkin