Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir paylaşımlı elektrikli scooter (e-scooter) şirketi, kullanıcıların scooter'ları teslim ettikleri şarj istasyonunun doluluk durumuna göre kullanıcılarına sürüş kredisi hediye etmektedir. Şirketin bünyesinde bulunan A ve B tipi istasyonlar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* A tipi istasyonun toplam scooter kapasitesi, B tipi istasyonun toplam scooter kapasitesinin 22 katıdır.
* Bir istasyona scooter bırakıldığında; istasyondaki boş yer sayısı o istasyonun kapasitesinin yarısından fazla ise A tipi istasyon için 1010 TL, B tipi istasyon için 1515 TL kredi kazanılmaktadır.
* İstasyondaki boş yer sayısı o istasyonun kapasitesinin yarısı veya daha az ise A tipi istasyon için 2020 TL, B tipi istasyon için 3030 TL kredi kazanılmaktadır.

Başlangıçta belirli sayıda boş yeri olan bir adet A tipi ve bir adet B tipi istasyona toplam 1414 adet scooter birer birer bırakılarak her iki istasyon da tamamen doldurulmuştur.

Bu işlem sonucunda kullanıcılar toplam 265265 TL kredi kazandığına göre, başlangıçta B istasyonundaki boş yer sayısı kaçtır?

  1. 4Cevap
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    5
  5. E
    6

Cevap

Başlangıçta B istasyonundaki boş yer sayısı 4'tür.
B istasyonunun kapasitesi 2k2k ve A istasyonunun kapasitesi 4k4k olarak seçildiğinde, başlangıçtaki boş yer sayıları bAb_A ve bBb_B olur. Toplam 1414 scooter bırakıldığı için bA+bB=14b_A + b_B = 14 yazılır. Kredi kurallarına göre toplam kredi 10bA+15bB+35k=26510b_A + 15b_B + 35k = 265 olarak formüle edilir. Bu denklemde bA=14−bBb_A = 14 - b_B dönüşümü yapıldığında bB+7k=25b_B + 7k = 25 denklemine ulaşılır. k≤bB≤2kk \le b_B \le 2k kısıtı altında bu denklemi sağlayan tek tam sayı değeri k=3k = 3 ve bB=4b_B = 4 olur. Bu nedenle başlangıçta B istasyonundaki boş yer sayısı 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Kapasiteler ve doluluk sınırları için değişkenlerin tanımlanması.
B istasyonunun kapasitesi xx ise A istasyonunun kapasitesi 2x2x olur. Bu durumda A istasyonu için sınır değer xx, B istasyonu için x2\frac{x}{2} olur. Kolaylık sağlaması açısından x=2kx = 2k alınırsa, B'nin kapasitesi 2k2k (sınır kk), A'nın kapasitesi 4k4k (sınır 2k2k) olur.
Kapasiteler arasındaki 2 kat oranını ve yarısı sınırlarını tamsayılar üzerinden işlemek.
2
Başlangıçtaki boş yer sayıları üzerinden toplam scooter denkleminin kurulması.
A'daki başlangıç boş yer sayısı bAb_A, B'deki bBb_B olsun. Scooterlar tek tek park edildikçe boş yer sayıları s��fırlanmıştır. Toplam scooter sayısı başlangıçtaki toplam boş yer sayısına eşit olduğundan bA+bB=14b_A + b_B = 14 elde edilir.
İstasyonların tamamen dolması için gereken scooter sayısının boş yer sayısına eşitliğini kullanmak.
3
Kazanılan toplam kredinin bAb_A, bBb_B ve kk cinsinden ifade edilmesi.
Başlangıçta bA≥2kb_A \ge 2k ve bB≥kb_B \ge k olduğu kabul edilirse, A istasyonunda boş yer sayısı 2k2k'den fazla olan bA−2kb_A - 2k adet scooter için 1010 TL, kalan 2k2k adet scooter için 2020 TL kazanılır. A'dan kazanılan kredi: 10(bA−2k)+20(2k)=10bA+20k10(b_A - 2k) + 20(2k) = 10b_A + 20k olur. Benzer şekilde B istasyonunda boş yer sayısı kk'den fazla olan bB−kb_B - k adet scooter için 1515 TL, kalan kk adet scooter için 3030 TL kazanılır. B'den kazanılan kredi: 15(bB−k)+30k=15bB+15k15(b_B - k) + 30k = 15b_B + 15k olur. Toplam kredi: 10bA+15bB+35k10b_A + 15b_B + 35k olur.
Boş yer sayılarına göre her scooter park edildiğinde kazanılan farklı kredileri toplamak.
4
Sistem denkleminin çözülmesi ve sınır koşullarının kontrol edilmesi.
bA=14−bBb_A = 14 - b_B yazılarak toplam kredi denklemine yerleştirilir: 10(14−bB)+15bB+35k=265  ⟹  140+5bB+35k=265  ⟹  5bB+35k=125  ⟹  bB+7k=2510(14 - b_B) + 15b_B + 35k = 265 \implies 140 + 5b_B + 35k = 265 \implies 5b_B + 35k = 125 \implies b_B + 7k = 25 elde edilir. bBb_B değeri kapasiteyi aşamayacağı için k≤bB≤2kk \le b_B \le 2k olmalıdır. Bu kısıtı sağlayan tek tamsayı ikilisi k=3k = 3 ve bB=4b_B = 4 (3≤4≤63 \le 4 \le 6) olur.
Elde edilen doğrusal denklemin fiziksel kısıtlara uygun tek çözümünü bulmak.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde kısıtlara bağlı doğrusal denklem sistemleri kurma ve çözme
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru