Examkin

Soru

Zorluk: ZorPermütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Aşağıda tekrarlı permütasyon kuralları kullanılarak hesaplanabilecek 33 farklı durum verilmiştir.

Buna göre, bu durumların gerçekleşme sayılarının en küçükten en büyüğe doğru sıralanışı nasıl olmalıdır?

  1. 144 özdeş kırmızı ve 22 özdeş beyaz bardağın yan yana dizilmesiyle oluşabilecek dizilimlerden beyaz bardakların yan yana bulunmadığı durumların sayısı
  2. 2FU¨ZEEEFÜZEEE kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilecek anlamlı ya da anlamsız 66 harfli kelimelerden EE harfi ile başlayıp EE harfi ile bitmeyenlerin sayısı
  3. 3A={1,2,3,4,5,6}A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} kümesinin elemanları kullanılarak yazılabilecek rakamları farklı 66 basamaklı sayıların, tek rakamların soldan sağa doğru artan sırada (11, 33, 55 şeklinde) olduğu durumların sayısı

Cevap

Doğru sıralama bardak dizilimi (1010), kelime oluşturma (3636) ve 66 basamaklı sayı yazma (120120) şeklindedir.
Durumların sayıları sırasıyla 1010, 3636 ve 120120 olarak hesaplandığından küçükten büyüğe sıralama bardak dizilimi, kelime oluşturma ve sayı yazma şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
44 özdeş kırmızı ve 22 özdeş beyaz bardağın beyazlar yan yana olmayacak şekilde dizilim sayısını bulmak.
10
44 özdeş kırmızı bardak yerleştirildiğinde oluşan 55 boşluğa 22 özdeş beyaz bardak (52)=10\binom{5}{2} = 10 farklı şekilde konabilir.
2
FU¨ZEEEFÜZEEE kelimesinin harfleriyle yazılabilecek, EE ile başlayıp EE ile bitmeyen 66 harfli kelime sayısını hesaplamak.
36
FU¨ZEEEFÜZEEE kelimesinde 66 harf vardır (EE harfi 33 kez tekrarlamaktadır). EE ile başlayıp EE ile bitmeyen kelimeler için; ilk harf EE olarak sabitlenir, son harf EE dışında FF, U¨Ü veya ZZ olmak üzere 33 seçenekten biri olur. Kalan 44 harf (ikisi EE olmak üzere) orta kısma 4!2!=12\frac{4!}{2!} = 12 şekilde dizilir. Toplam durum 3×12=363 \times 12 = 36 bulunur.
3
Rakamları farklı 66 basamaklı sayılarda tek rakamların (11, 33, 55) soldan sağa doğru artan sırada olduğu durum sayısını bulmak.
120
66 basamaktan 33'ü tek rakamlar için (63)=20\binom{6}{3} = 20 farklı şekilde seçilir ve bu rakamlar tek bir şekilde (11, 33, 55 sırasıyla) yerleştirilir. Kalan 33 basamağa çift rakamlar 3!=63! = 6 şekilde dizilir. Toplam durum 20×6=12020 \times 6 = 120 bulunur.
4
Bulunan durum sayılarını karşılaştırıp küçükten büyüğe sıralamak.
10 < 36 < 120
Durum sayıları sırasıyla 1010, 3636 ve 120120 olduğundan en küçükten en büyüğe sıralama bardak dizilimi, kelime oluşturma ve sayı yazma şeklindedir.

Anahtar Kavram

Özdeş nesnelerin diziliminde tekrarlı permütasyon formülü ve belirli elemanların sıralama kısıtlarında kombinasyon kullanımı.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru