Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPermütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Aşağıdaki durumları, gerçekleşebilecekleri farklı dizilim sayılarına göre küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1III. Durum: 3 özdeş mavi, 1 yeşil ve 1 kırmızı bilyenin yan yana dizilimi esnasında yeşil ve kırmızı bilyelerin yan yana olması koşuluyla oluşan farklı dizilimler
  2. 2II. Durum: Bir kareli zemin üzerinde (0,0) noktasından (2,3) noktasına sadece sağa veya yukarı yönde hareket edilerek ulaşılabilecek en kısa yollar
  3. 3I. Durum: MAKAS kelimesinin harflerinin yerleri değiştirilerek yazılabilecek 5 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler

Cevap

Dizilim sayılarının küçükten büyüğe sıralaması III. Durum < II. Durum < I. Durum şeklindedir.
Her bir durumun farklı dizilim sayıları sırasıyla III. Durum için 8, II. Durum için 10 ve I. Durum için 60 olarak hesaplanır. Bu değerler küçükten büyüğe doğru 8<10<608 < 10 < 60 şeklinde sıralandığından doğru sıralama III. Durum, II. Durum, I. Durum şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
MAKAS kelimesinin harfleriyle yazılabilecek kelime sayısını hesaplama
60
5 harfli MAKAS kelimesinde A harfi 2 kez tekrar ettiğinden tekrarlı permütasyon formülü 5!2!=60\frac{5!}{2!} = 60 olarak uygulanır.
2
(0,0) noktasından (2,3) noktasına giden en kısa yolların sayısını hesaplama
10
2 sağa ve 3 yukarı olmak üzere toplam 5 adım tekrarlı permütasyonla 5!2!⋅3!=10\frac{5!}{2! \cdot 3!} = 10 farklı şekilde sıralanabilir.
3
Mavi, yeşil ve kırmızı bilyelerin verilen koşula göre dizilim sayısını hesaplama
8
Yeşil ve kırmızı tek bir eleman olarak düşünülürse, 3 özdeş mavi ile birlikte 4 eleman olur. Bunlar 4!3!=4\frac{4!}{3!} = 4 şekilde dizilir. Yeşil ve kırmızının kendi arasındaki yer değişimi (2!) ile çarpıldığında 4⋅2=84 \cdot 2 = 8 dizilim elde edilir.
4
Hesaplanan değerleri karşılaştırıp küçükten büyüğe sıralama
III < II < I
8<10<608 < 10 < 60 olduğundan doğru sıralama III, II, I şeklindedir.

Anahtar Kavram

Tekrarlı permütasyon problemlerinde özdeş elemanların tekrarlanma sayılarına bölünmesi ve özel koşulların (yan yana olma, kareli zemin üzerinde yol bulma vb.) uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru