Examkin

Soru

Zorluk: KolayPermütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bir kafede yan yana bulunan 6 boş sandalyeye özdeş 4 mavi ve özdeş 2 yeşil minder yerleştirilecektir. Her sandalyeye bir minder gelmesi koşuluyla, bu minderler sandalyelere kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

  1. A
    48
  2. B
    90
  3. C
    120
  4. 15Cevap
  5. E
    720

Cevap

15
Toplam 6 minderin 4'ü mavi, 2'si yeşil renkte olup kendi renklerinde özdeştirler. Bu minderlerin sandalyelere kaç farklı şekilde dizilebileceği tekrarlı permütasyon formülü olan 6!4!⋅2!\frac{6!}{4! \cdot 2!} ile hesaplanır. Sadeleştirme yapıldığında sonuç 15 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam yerleştirilecek minder sayısını ve tekrar eden (özdeş) minderlerin sayılarını belirleme.
Toplam 6 minder vardır. Bunlardan 4 tanesi mavi (özdeş) ve 2 tanesi yeşildir (özdeş).
Tekrarlı permütasyon formülünü uygulamak için toplam eleman sayısı ile tekrar eden eleman sayılarının belirlenmesi gerekir.
2
Tekrarlı permütasyon formülünü kullanarak farklı sıralama sayısını hesaplama.
6!4!×2!=72024×2=72048=15\frac{6!}{4! \times 2!} = \frac{720}{24 \times 2} = \frac{720}{48} = 15
Özdeş elemanların kendi aralarında yer değiştirmesi yeni bir dizilim oluşturmadığından, toplam sıralama sayısı tekrar eden elemanların faktöriyellerinin çarpımına bölünür.

Anahtar Kavram

Özdeş elemanların bir sıra halinde dizilmesinde tekrarlı permütasyon kullanılır. nn elemandan n1,n2,…n_1, n_2, \dots tanesi özdeş ise farklı dizilimlerin sayısı n!n1!⋅n2!…\frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \dots} formülüyle bulunur.

Alternatif Yöntem

6 adet sandalyeden yeşil minderlerin yerleştirileceği 2 sandalyeyi seçmek yeterlidir. Geriye kalan 4 sandalyeye mavi minderler tek bir şekilde yerleşir. Bu seçim (62)=6×52=15\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15 farklı şekilde yapılabilir.
Tahmini Süre:1m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru