Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
∣x2−3x∣2−2∣x2−3x∣−8=0|x^2 - 3x|^2 - 2|x^2 - 3x| - 8 = 0
denkleminin gerçel köklerinin çarpımı kaçtır?
  1. A
    -8
  2. B
    -16
  3. -4Cevap
  4. D
    -2
  5. E
    8

Cevap

Gerçel köklerin çarpımı -4'tür.
Doğru seçenekte, denklemde ∣x2−3x∣=t|x^2 - 3x| = t değişken değiştirmesi yapılmış, mutlak değerin negatif olamayacağı dikkate alınarak yalnızca t=4t = 4 değeri seçilmiştir. Bu değerden elde edilen x2−3x−4=0x^2 - 3x - 4 = 0 denkleminin gerçel kökleri 44 ve −1-1 olarak bulunmuş, diskriminantı negatif olan diğer durumun gerçel kökü olmadığı görülmüş ve kökler çarpımı doğru şekilde −4-4 olarak hesaplanmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli ifadeye yeni bir değişken atanması
∣x2−3x∣=t|x^2 - 3x| = t dönüşümü yapılarak t2−2t−8=0t^2 - 2t - 8 = 0 denklemi elde edilir.
İkinci dereceden denklem çözme yöntemlerini uygulamak için değişken değiştirilir.
2
Değişkenin değerlerinin bulunması ve sınırlamanın kontrol edilmesi
(t−4)(t+2)=0  ⟹  t=4(t-4)(t+2) = 0 \implies t = 4 veya t=−2t = -2 bulunur. Mutlak değer negatif olamayacağından (t≥0t \geq 0), yalnızca t=4t = 4 değeri kabul edilir.
Mutlak değerli bir ifadenin tanım kümesi gereği negatif değer alamayacağı kuralı uygulanır.
3
Değişkenin asıl ifadedeki karşılığının yazılması ve yeni denklemlerin çözülmesi
∣x2−3x∣=4|x^2 - 3x| = 4 eşitliğinden iki durum elde edilir:
1) x2−3x=4  ⟹  x2−3x−4=0x^2 - 3x = 4 \implies x^2 - 3x - 4 = 0
2) x2−3x=−4  ⟹  x2−3x+4=0x^2 - 3x = -4 \implies x^2 - 3x + 4 = 0
Mutlak değer dışına çıkarma kuralları uygulanarak ikinci dereceden denklemler oluşturulur.
4
Oluşan denklemlerin gerçel köklerinin incelenmesi ve köklerin bulunması
İlk denklem için: x2−3x−4=0  ⟹  (x−4)(x+1)=0  ⟹  x=4x^2 - 3x - 4 = 0 \implies (x-4)(x+1) = 0 \implies x = 4 ve x=−1x = -1 gerçel köklerdir.
İkinci denklem için: x2−3x+4=0x^2 - 3x + 4 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(−3)2−4⋅1⋅4=−7<0\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -7 < 0 olduğundan gerçel kökü yoktur.
Her bir denklemin gerçel sayılar kümesindeki çözüm kümesi bulunur.
5
Gerçel köklerin çarpımının hesaplanması
Gerçel kökler 44 ve −1-1 olduğundan, çarpımları 4⋅(−1)=−44 \cdot (-1) = -4 olarak bulunur.
Soru kökünde istenen gerçel kökler çarpımına ulaşılır.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlerin Değişken Değiştirme Yöntemi ile Çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri