Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri
(x2−4x)2−5x2+20x−24=0\left(x^2 - 4x\right)^2 - 5x^2 + 20x - 24 = 0

denkleminin rasyonel sayı olan köklerinin çarpımı kaçtır?

Cevap: 3

Cevap

Rasyonel sayı olan köklerin çarpımı 3'tür.
Denklem düzenlendiğinde t=x2−4xt = x^2 - 4x dönüşümü ile t2−5t−24=0t^2 - 5t - 24 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri t=8t = 8 ve t=−3t = -3 olur. x2−4x=8x^2 - 4x = 8 denkleminin kökleri irrasyoneldir. x2−4x=−3x^2 - 4x = -3 denkleminin kökleri ise rasyonel olan 11 ve 33 sayılarıdır. Bu rasyonel köklerin çarpımı 1×3=31 \times 3 = 3 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemde ortak terim elde etmek amacıyla düzenleme yapılır.
(x2−4x)2−5(x2−4x)−24=0\left(x^2 - 4x\right)^2 - 5\left(x^2 - 4x\right) - 24 = 0
Değişken değiştirme yöntemini uygulayabilmek için x2−4xx^2 - 4x ifadesi ortak bir değişkenle temsil edilecek biçimde gruplandırılır.
2
t=x2−4xt = x^2 - 4x değişken değiştirmesi uygulanır.
t2−5t−24=0t^2 - 5t - 24 = 0
Dördüncü dereceden bir denklemi, çözümü daha kolay olan ikinci dereceden bir denkleme indirgemek için.
3
tt değişkenine bağlı ikinci dereceden denklem çarpanlarına ayrılır ve çözülür.
t=8t = 8 veya t=−3t = -3
t2−5t−24=(t−8)(t+3)=0t^2 - 5t - 24 = (t - 8)(t + 3) = 0 eşitliğini sağlayan tt köklerini elde etmek için.
4
Elde edilen tt değerleri kullanılarak orijinal xx değişkenine geri dönülür ve denklemlerin kökleri incelenir.
x2−4x=8  ⟹  x2−4x−8=0x^2 - 4x = 8 \implies x^2 - 4x - 8 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=48\Delta = 48 (tam kare değil, kökler irrasyonel). x2−4x=−3  ⟹  x2−4x+3=0  ⟹  (x−1)(x−3)=0x^2 - 4x = -3 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x-1)(x-3) = 0 denkleminin kökleri x=1x = 1 ve x=3x = 3 (rasyonel).
xx köklerinin rasyonellik durumunu test etmek ve rasyonel kök kümesini belirlemek için.
5
Sadece rasyonel olan köklerin çarpımı hesaplanır.
1×3=31 \times 3 = 3
Soruda sadece rasyonel sayı olan köklerin çarpımı talep edildiği için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemlerde değişken değiştirme yöntemi ve köklerin sayı kümeleri (rasyonel/irrasyonel) bakımından incelenmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri