Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir kitabın sayfaları 11'den başlanarak ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılacaktır. Ancak basım hatası nedeniyle numarası 33'ün katı olan sayfalar basılmamış ve bu sayfa numaraları atlanmıştır.

Örneğin; kitabın basılan ilk sayfa numaraları sırasıyla 1,2,4,5,7,8,…1, 2, 4, 5, 7, 8, \dots şeklindedir.

Kitapta basılan tüm sayfa numaralarının toplamı 12001200 olduğuna göre, kitapta basılan en büyük sayfa numarası kaçtır?

Cevap: 59

Cevap

Kitapta basılan en büyük sayfa numarası 59'dur.
Basılan sayılar 33'ün katı olmayan sayılardır. Bu sayılar (1,2),(4,5),…(1, 2), (4, 5), \dots şeklinde ikili gruplandığında her bir grubun toplamı 3,9,15,…3, 9, 15, \dots aritmetik dizisini oluşturur. İlk kk grubun toplamı 3k23k^2 formülü ile bulunur. 3k2=12003k^2 = 1200 eşitliğinden grup sayısı k=20k = 20 olarak elde edilir. En son grup olan 2020. grubun elemanları 5858 ve 5959 olduğundan, basılan en büyük sayfa numarası 5959 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Sayfa numaralarını gruplandırma
Basılan sayfa numaraları 33'ün katı olmayan sayılardır. Bu sayıları ikili gruplar halinde yazarsak: (1,2),(4,5),(7,8),…,(3k−2,3k−1)(1, 2), (4, 5), (7, 8), \dots, (3k-2, 3k-1) şeklinde kk tane grup elde ederiz.
Ardışık terimlerin toplamını sistematik olarak hesaplamak için terimleri ikili gruplara ayırmak çözümü kolaylaştırır.
2
Grup toplamlarını ve genel toplamı bulma
Her bir grubun toplamı sırasıyla şöyledir:
- 1. grup: 1+2=31 + 2 = 3
- 2. grup: 4+5=94 + 5 = 9
- 3. grup: 7+8=157 + 8 = 15
- kk. grup: (3k−2)+(3k−1)=6k−3(3k-2) + (3k-1) = 6k-3

Bu toplamların oluşturduğu dizinin ilk kk teriminin toplamı:
Sk=∑r=1k(6r−3)=6⋅k(k+1)2−3k=3k2+3k−3k=3k2S_k = \sum_{r=1}^{k} (6r - 3) = 6 \cdot \frac{k(k+1)}{2} - 3k = 3k^2 + 3k - 3k = 3k^2 olarak bulunur.
İlk kk grubun toplamını veren cebirsel ifadeyi elde etmek için aritmetik dizi toplam formülü uygulanır.
3
Grup sayısını (kk) belirleme
3k2=1200  ⟹  k2=400  ⟹  k=203k^2 = 1200 \implies k^2 = 400 \implies k = 20 bulunur. Demek ki kitapta toplam 2020 tane grup (yani 4040 sayfa) basılmıştır.
Verilen toplam değerini formüle eşitleyerek basılan toplam grup sayısını buluruz.
4
En büyük sayfa numarasını hesaplama
Son grup olan 2020. grubun elemanları:
- İlk eleman: 3(20)−2=583(20) - 2 = 58
- İkinci eleman: 3(20)−1=593(20) - 1 = 59

Bu durumda basılan en büyük sayfa numarası 5959'dur.
En son basılan grubun en büyük elemanı, kitapta basılan en büyük sayfa numarasına eşittir.

Anahtar Kavram

Ardışık Sayı Gruplarının Toplamı ve Aritmetik Diziler
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru