Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir spor salonunda antrenman yapan Arda, Berk ve Can'ın attıkları toplam tur sayıları sırasıyla AA, BB ve CC ile gösterilmektedir. xx bir pozitif tam sayı olmak üzere sporcuların antrenman programı şu şekildedir:

* Arda: İlk gün xx tur atmış ve takip eden her gün tur sayısını bir önceki güne göre 11 artırarak antrenmanını 66 günde tamamlamıştır.
* Berk: İlk gün x+1x+1 tur atmış ve takip eden her gün tur sayısını bir önceki güne göre 22 artırarak antrenmanını 44 günde tamamlamıştır.
* Can: İlk gün x+2x+2 tur atmış ve takip eden her gün tur sayısını bir önceki güne göre 33 artırarak antrenmanını 33 günde tamamlamıştır.

Buna göre, sporcuların antrenman boyunca attıkları toplam tur sayılarını en az olandan en çok olana doğru sıralayınız.

  1. 1Can'ın attığı toplam tur sayısı (CC)
  2. 2Berk'in attığı toplam tur sayısı (BB)
  3. 3Arda'nın attığı toplam tur sayısı (AA)

Cevap

En az tur atandan en çok tur atana doğru sıralama Can (CC), Berk (BB) ve Arda (AA) şeklindedir.
Sporcuların her gün attıkları tur sayıları ardışık diziler oluşturur. Bu dizilerin terimleri toplandığında Arda için A=6x+15A = 6x + 15, Berk için B=4x+16B = 4x + 16 ve Can için C=3x+15C = 3x + 15 ifadeleri elde edilir. xx sayısının en az 11 olabilen bir pozitif tam sayı olduğu bilgisi kullanılarak bu ifadeler karşılaştırıldığında en küçük toplamın Can'ın (CC), en büyük toplamın ise Arda'nın (AA) attığı tur sayısı olduğu görülür.

Adım Adım Çözüm

1
Arda'nın toplam tur sayısı olan AA değerini xx cinsinden hesaplayalım.
A=6x+15A = 6x + 15
Arda'nın günlük tur sayıları sırasıyla xx, x+1x+1, x+2x+2, x+3x+3, x+4x+4 ve x+5x+5 şeklindedir. Bunların toplamı x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=6x+15x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4) + (x+5) = 6x + 15 olur.
2
Berk'in toplam tur sayısı olan BB değerini xx cinsinden hesaplayalım.
B=4x+16B = 4x + 16
Berk'in günlük tur sayıları sırasıyla x+1x+1, x+3x+3, x+5x+5 ve x+7x+7 şeklindedir. Bunların toplamı (x+1)+(x+3)+(x+5)+(x+7)=4x+16(x+1) + (x+3) + (x+5) + (x+7) = 4x + 16 olur.
3
Can'ın toplam tur sayısı olan CC değerini xx cinsinden hesaplayalım.
C=3x+15C = 3x + 15
Can'ın günlük tur sayıları sırasıyla x+2x+2, x+5x+5 ve x+8x+8 şeklindedir. Bunların toplamı (x+2)+(x+5)+(x+8)=3x+15(x+2) + (x+5) + (x+8) = 3x + 15 olur.
4
x1x \geq 1 (pozitif tam sayı) koşulu altında elde edilen AA, BB ve CC değerlerini karşılaştıralım.
C<B<AC < B < A
BB ile CC arasındaki fark: BC=(4x+16)(3x+15)=x+1B - C = (4x + 16) - (3x + 15) = x + 1'dir. x1x \geq 1 olduğundan x+1>0x + 1 > 0 olur ve B>CB > C elde edilir. AA ile BB arasındaki fark: AB=(6x+15)(4x+16)=2x1A - B = (6x + 15) - (4x + 16) = 2x - 1'dir. x1x \geq 1 olduğundan 2x11>02x - 1 \geq 1 > 0 olur ve A>BA > B elde edilir. Dolayısıyla doğru sıralama C<B<AC < B < A şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terimlerin aritmetik toplamı ve değişkenli eşitsizliklerin karşılaştırılması.

Alternatif Yöntem

xx bir pozitif tam sayı olduğundan ve sıralama her pozitif tam sayı değeri için aynı kalacağından, pratik bir yol olarak x=1x = 1 seçilebilir. Bu durumda; A=1+2+3+4+5+6=21A = 1+2+3+4+5+6 = 21, B=2+4+6+8=20B = 2+4+6+8 = 20 ve C=3+6+9=18C = 3+6+9 = 18 değerleri bulunur. Buradan da C<B<AC < B < A sıralamasına hızlıca ulaşılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla