Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir depodaki kutular; en üst sırada 11 kutu, onun altındaki sırada 22 kutu, onun altındaki sırada 33 kutu olacak ve her sırada bir önceki sıradakinden 11 fazla kutu bulunacak biçimde üst üste dizilerek üçgensel bir yapı oluşturulmuştur.

Bu yapıdaki toplam kutu sayısı, en alttaki sırada bulunan kutu sayısının 1010 katından 2424 eksiktir.

En alttaki sırada bulunan kutu sayısı iki basamaklı bir sayı olduğuna göre, bu yapının oluşturulmasında toplam kaç kutu kullanılmıştır?

  1. A
    6
  2. B
    16
  3. C
    36
  4. D
    120
  5. 136Cevap

Cevap

Toplam kutu sayısı 136'dır.
Toplam kutu sayısını veren formül Sn=n(n+1)2S_n = \frac{n(n+1)}{2} şeklindedir. Sorudaki verilere göre n(n+1)2=10n−24\frac{n(n+1)}{2} = 10n - 24 denklemi kurulur. Bu denklem düzenlendiğinde n2−19n+48=0n^2 - 19n + 48 = 0 elde edilir. Çarpanlara ayırma yöntemiyle kökler n=16n=16 ve n=3n=3 bulunur. En alttaki sıradaki kutu sayısının iki basamaklı olduğu belirtildiğinden n=16n=16 seçilmelidir. Buradan toplam kutu sayısı S16=16×172=136S_{16} = \frac{16 \times 17}{2} = 136 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
En alttaki sırada bulunan kutu sayısını nn olarak belirleyip toplam kutu sayısını veren ardışık sayılar formülünü yazmak.
Sn=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}
Kutular her sırada birer artarak dizildiği için toplam kutu sayısı ilk nn pozitif tam sayının toplamına eşittir.
2
Soruda verilen ilişkiyi kullanarak denklem kurmak.
n(n+1)2=10n−24\frac{n(n+1)}{2} = 10n - 24
Toplam kutu sayısının, en alttaki sıradaki kutu sayısının (nn değerinin) 1010 katından 2424 eksik olduğu belirtilmiştir.
3
Kurulan denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem haline getirmek.
n(n+1)=20n−48⇒n2+n=20n−48⇒n2−19n+48=0n(n+1) = 20n - 48 \Rightarrow n^2 + n = 20n - 48 \Rightarrow n^2 - 19n + 48 = 0
Eşitliğin her iki tarafı 2 ile çarpılarak payda eşitlenmiş ve tüm terimler sol tarafta toplanmıştır.
4
İkinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak kökleri bulmak.
(n−16)(n−3)=0⇒n=16(n-16)(n-3) = 0 \Rightarrow n = 16 veya n=3n = 3
Çarpımları 4848, toplamları −19-19 olan sayılar −16-16 ve −3-3'tür.
5
Verilen iki basamaklı sayı koşulunu uygulamak ve toplam kutu sayısını hesaplamak.
nn sayısı iki basamaklı olduğundan n=16n = 16 alınır. Toplam kutu sayısı: S16=16×172=136S_{16} = \frac{16 \times 17}{2} = 136
n=3n = 3 değeri tek basamaklı olduğu için elenir. n=16n = 16 değeri için toplam kutu sayısı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Ardışık sayılar toplamı formülü ve ikinci dereceden denklem çözümü yardımıyla modelleme yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru