Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Denklemler

Bir fırındaki ekmeklerin ideal pişme sıcakl��ğı 220∘C220^\circ\text{C} olarak belirlenmiştir. Fırının anlık sıcaklığı x∘Cx^\circ\text{C} olmak üzere, fırın sıcaklığının ideal sıcaklıktan sapma miktarı ∣x−220∣∘C|x - 220|^\circ\text{C} olarak tanımlanmaktadır. Fırın sıcaklığı ayarlanırken yapılan bir ölçümde, bu sapma miktarının 15∘C15^\circ\text{C} değerine olan uzaklığının 5∘C5^\circ\text{C} olduğu tespit edilmiştir. Buna göre, fırın sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaç ∘C^\circ\text{C}'dir?

  1. A
    410
  2. B
    440
  3. C
    470
  4. 880Cevap
  5. E
    920

Cevap

Fırın sıcaklığının alabileceği farklı değerlerin toplamı olan 880 derecedir.
Fırın sıcaklığının ideal pişme sıcaklığından sapma miktarı olan ∣x−220∣|x - 220| ifadesinin 15∘C15^\circ\text{C} değerine uzaklığı 5∘C5^\circ\text{C} olarak verildiğinden ∣∣x−220∣−15∣=5||x - 220| - 15| = 5 denklemi elde edilir. Bu denklemin çözümü için dıştaki mutlak değer açılarak ∣x−220∣−15=5|x - 220| - 15 = 5 ve ∣x−220∣−15=−5|x - 220| - 15 = -5 durumları incelenir. Buradan sırasıyla ∣x−220∣=20|x - 220| = 20 ve ∣x−220∣=10|x - 220| = 10 denklemlerine ulaşılır. Bu denklemler çözüldüğünde xx değerleri 200,210,230200, 210, 230 ve 240240 olarak bulunur. Tüm bu değerlerin toplamı olan 880880 doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

1
Sapma miktarı olan ∣x−220∣|x - 220| ifadesini yeni bir değişkenle (yy) tanımlayarak denklemi kurmak.
y=∣x−220∣y = |x - 220| olsun. Sapma miktarının 15∘C15^\circ\text{C} değerine uzaklığı 5∘C5^\circ\text{C} olduğuna göre denklem ∣y−15∣=5|y - 15| = 5 olur.
Sözel olarak verilen problemi matematiksel bir denkleme dönüştürmek için.
2
∣y−15∣=5|y - 15| = 5 denklemini çözerek yy değerlerini bulmak.
y−15=5⇒y=20y - 15 = 5 \Rightarrow y = 20 veya y−15=−5⇒y=10y - 15 = -5 \Rightarrow y = 10 bulunur. Her iki değer de mutlak değerin tanımına uygun olarak pozitif olduğundan geçerlidir.
Mutlak değerli bir denklemin iki farklı yönlü çözüm durumunu elde etmek için.
3
Bulunan yy değerlerini yerine yazarak xx için yeni mutlak değerli denklemleri çözmek.
∣x−220∣=20|x - 220| = 20 için: x−220=20⇒x1=240x - 220 = 20 \Rightarrow x_1 = 240 ve x−220=−20⇒x2=200x - 220 = -20 \Rightarrow x_2 = 200 olur. ∣x−220∣=10|x - 220| = 10 için: x−220=10⇒x3=230x - 220 = 10 \Rightarrow x_3 = 230 ve x−220=−10⇒x4=210x - 220 = -10 \Rightarrow x_4 = 210 olur.
Değişken dönüşümünü geri alarak fırın sıcaklığının alabileceği gerçek değerleri hesaplamak için.
4
Fırın sıcaklığının alabileceği tüm farklı değerleri toplamak.
240+200+230+210=880240 + 200 + 230 + 210 = 880 bulunur.
Soru kökünde istenen toplam değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerin çözümü ve sapma problemlerinin modellenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru