Sıfırdan farklı her x ve y gerçel sayısı için \frac{|x + y|}{|x| + |y|} \leq 1 eşitsizliği… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Sıfırdan farklı her $x$ ve $y$ gerçel sayısı için $\frac{|x + y|}{|x| + |y|} \leq 1$ eşitsizliği her zaman doğrudur.

Cevap: Cevap

Cevap

Sıfırdan farklı her

x

y

gerçel sayısı için

|x + y| \leq |x| + |y|

üçgen eşitsizliği geçerlidir.

|x| + |y| > 0

olduğundan, her iki taraf bu ifadeye bölündüğünde

\frac{|x + y|}{|x| + |y|} \leq 1

eşitsizliği elde edilir ve bu ifade her zaman doğrudur.

Üçgen eşitsizliği gereği

|x+y| \leq |x|+|y|

bağıntısı her zaman doğrudur.

x

y

sıfırdan farklı olduğu için payda pozitif bir değerdir ve bu değere bölündüğünde eşitsizliğin doğruluğu korunur.

Adım Adım Çözüm

Üçgen eşitsizliği özelliğini hatırlama

Her

x, y \in \mathbb{R}

için

|x + y| \leq |x| + |y|

olduğu bilinir.

Mutlak değerde iki sayının toplamının başlangıç noktasına uzaklığı, bu sayıların ayrı ayrı başlangıç noktasına olan uzaklıklarının toplamından büyük olamaz.

Paydanın işaretini belirleme

x \neq 0

y \neq 0

olduğundan

|x| > 0

|y| > 0

olur. Dolayısıyla,

|x| + |y| > 0

elde edilir.

Sıfırdan farklı sayıların mutlak değerleri daima pozitiftir ve pozitif iki sayının toplamı da pozitiftir.

Eşitsizliği düzenleme

|x + y| \leq |x| + |y|

eşitsizliğinde her iki tarafı pozitif olan

|x| + |y|

ifadesine böldüğümüzde,

\frac{|x + y|}{|x| + |y|} \leq 1

elde edilir.

Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıya bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirmez.

Anahtar Kavram

Üçgen eşitsizliği ve mutlak değerin temel özellikleri

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru