Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x−y∣=∣x∣−∣y∣|x - y| = |x| - |y| eşitliğinin sağlanması için gerek ve yeter şart x⋅y≥0x \cdot y \geq 0 ve ∣x∣≥∣y∣|x| \geq |y| olmasıd��r.

Cevap: Cevap

Cevap

Her xx ve yy gerçel sayısı için ∣x−y∣=∣x∣−∣y∣|x - y| = |x| - |y| eşitliğinin sağlanması için gerek ve yeter şart x⋅y≥0x \cdot y \geq 0 ve ∣x∣≥∣y∣|x| \geq |y| olmasıdır ifadesi doğrudur.
Verilen ifade doğrudur, çünkü ∣x−y∣=∣x∣−∣y∣|x - y| = |x| - |y| eşitliğinin sağlanabilmesi için hem xx ile yy sayılarının çarpımının negatif olmaması hem de xx'in mutlak değerinin yy'ninkinden büyük veya eşit olması zorunludur.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitliğin iki tarafının karesini alarak mutlak değer ilişkisini sadeleştirme
x2−2xy+y2=x2−2∣xy∣+y2⇒xy=∣xy∣x^2 - 2xy + y^2 = x^2 - 2|xy| + y^2 \Rightarrow xy = |xy| elde edilir.
Eşitliğin her iki tarafındaki mutlak değerlerin karesini alarak ifadeleri sadeleştirmek ve çarpım durumuna getirmek için bu adım uygulanır.
2
Elde edilen xy=∣xy∣xy = |xy| eşitliğinin işaret koşulunu belirleme
x⋅y≥0x \cdot y \geq 0 olmalıdır.
Bir ifadenin mutlak değeri kendisine eşitse, o ifade negatif olamaz.
3
Mutlak değerin negatif olamama özelliğinden yola çıkarak sağ tarafın işaretini inceleme
∣x−y∣≥0|x - y| \geq 0 olduğundan, ∣x∣−∣y∣≥0⇒∣x∣≥∣y∣|x| - |y| \geq 0 \Rightarrow |x| \geq |y| olmalıdır.
Sol taraftaki ifade bir mutlak değer olduğundan her zaman sıfırdan büyük veya eşittir, bu nedenle sağ taraf da negatif olamaz.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin özellikleri ve iki sayının farkının mutlak değerinin, mutlak değerlerinin farkına eşit olma koşulları
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değer Kavramı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru