Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri
xx ve yy gerçel sayılardır.
x⋅y=12x \cdot y = 12
olduğuna göre, x+yx + y toplamının [−10,10][-10, 10] kapalı aralığındaki bir tam sayıya eşit olduğu ve xx sayısının rasyonel olmadığı biliniyor.
Buna göre, x+yx + y toplamının alabileceği farklı değerlerin sayısı kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

İstenen şartları sağlayan x + y toplamının alabileceği 4 farklı değer vardır.
Verilen x ve y sayılarının çarpımı 12 ve toplamları k olsun. Bu durumda x ve y, t^2 - kt + 12 = 0 denkleminin kökleridir. Köklerin gerçel sayı olması için Delta = k^2 - 48 >= 0 olmalıdır. Buradan |k| >= 7 elde edilir. [-10, 10] aralığındaki k tam sayıları {-10, -9, -8, -7, 7, 8, 9, 10} olur. x'in rasyonel olmaması (yani irrasyonel olması) için Delta = k^2 - 48 ifadesi bir tam kare olmamalıdır. k = +-7 için Delta = 1 (1'in karesi) ve k = +-8 için Delta = 16 (4'ün karesi) olup kökler rasyonel çıkar. k = +-9 için Delta = 33 ve k = +-10 için Delta = 52 tam kare olmadığından kökler irrasyoneldir. Dolayısıyla sağlayan k değerleri {-10, -9, 9, 10} olup toplamda 4 tanedir.

Adım Adım Çözüm

1
x ve y sayılarının toplamını k kabul edip bu sayıları kök kabul eden ikinci dereceden denklemi kurmak.
t^2 - kt + 12 = 0 denklemi elde edilir.
Köklerin rasyonellik ve reellik durumunu diskriminant üzerinden analiz edebilmek.
2
Köklerin gerçel sayı olması için diskriminant şartını uygulamak.
Delta = k^2 - 48 >= 0 bağıntısından |k| >= 7 elde edilir.
x ve y'nin gerçel sayı olduğu bilgisine uyması için.
3
k tam sayısının [-10, 10] aralığındaki olası değerlerini yazmak.
k elemanıdır {-10, -9, -8, -7, 7, 8, 9, 10} kümesi bulunur.
Tanımlanan aralıktaki tam sayı değerlerini sınırlandırmak.
4
x sayısının rasyonel olmaması için diskriminantın tam kare olmama şartını incelemek.
k = +-7 için Delta = 1 (tam kare), k = +-8 için Delta = 16 (tam kare) olduğundan bu değerler elenir. k = +-9 için Delta = 33 (tam kare değil), k = +-10 için Delta = 52 (tam kare değil) olduğundan bu değerler sağlanır.
Rasyonel olmayan (irrasyonel) gerçel sayı şartını kontrol etmek.
5
Sağlayan değerleri belirleyip saymak.
{-10, -9, 9, 10} olmak üzere 4 farklı değer bulunur.
Sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri (Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar, Gerçel Sayılar)
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru