Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri

Doğal sayılar kümesi N\mathbb{N}, tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z}, rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q} ve gerçel sayılar kümesi R\mathbb{R} ile gösterilmektedir.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. A
    Her a∈Qa \in \mathbb{Q} ve b∈R−Qb \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} için a⋅ba \cdot b bir irrasyonel sayıdır.
  2. B
    Her a,b∈R−Qa, b \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} için a+ba + b bir irrasyonel sayıdır.
  3. C
    Her a,b∈Q−Za, b \in \mathbb{Q} - \mathbb{Z} için a+ba + b bir tam sayı olmayan rasyonel sayıdır.
  4. Her a∈Za \in \mathbb{Z} ve b∈Q−Zb \in \mathbb{Q} - \mathbb{Z} için a+ba + b bir tam sayı olmayan rasyonel sayıdır.Cevap
  5. E
    Her a∈Za \in \mathbb{Z} ve b∈Q−Zb \in \mathbb{Q} - \mathbb{Z} için a⋅ba \cdot b bir tam sayı olmayan rasyonel sayıdır.

Cevap

Her aa tam sayısı ve tam sayı olmayan her bb rasyonel sayısı için a+ba + b toplamının tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olduğu ifadesi her zaman doğrudur.
Doğru olan se��enekte yer alan ifade, rasyonel sayıların kapalılık özelliği ve tam sayıların kendi içinde çıkarma işlemine göre kapalı olmasından ötürü her zaman doğrudur. Bir tam sayı ile tam sayı olmayan bir rasyonel sayının toplamı hiçbir zaman bir tam sayı değerine eşit olamaz.

Adım Adım Çözüm

1
Rasyonel sayıların toplama işlemine göre kapalılık özelliğini kontrol etme.
Tam sayılar kümesi, rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesidir (Z⊂Q\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}). Dolayısıyla a∈Za \in \mathbb{Z} ise a∈Qa \in \mathbb{Q} olur. Rasyonel iki sayının toplamı yine bir rasyonel sayı olduğundan a+b∈Qa+b \in \mathbb{Q}'dur.
Toplamın rasyonel sayılar kümesinin bir elemanı olup olmadığını anlamak için.
2
Toplamın tam sayı olup olamayacağını çelişki yöntemi kullanarak analiz etme.
a+ba + b toplamının bir tam sayı olduğunu varsayalım. Bu durumda a+b=ka + b = k olacak şekilde bir k∈Zk \in \mathbb{Z} bulunmalıdır.
Varsayımın doğruluğunu veya yanlışlığını test etmek için.
3
Varsayım altındaki bb değerinin sayı kümesi üyeliğini inceleme.
a+b=ka + b = k eşitliğinde bb yalnız bırakılırsa b=k−ab = k - a elde edilir. kk ve aa tam sayı olduğundan, iki tam sayının farkı da bir tam sayıdır (k−a∈Zk - a \in \mathbb{Z}). Dolayısıyla b∈Zb \in \mathbb{Z} sonucuna varılır.
bb değişkeninin hangi sayı kümesine ait olduğunu belirlemek için.
4
Elde edilen sonuç ile başlangıçtaki koşulun karşılaştırılması.
Bulunan b∈Zb \in \mathbb{Z} sonucu, soruda verilen b∈Q−Zb \in \mathbb{Q} - \mathbb{Z} (yani bb tam sayı değildir) koşulu ile çelişir. Bu çelişki nedeniyle a+ba + b toplamı bir tam sayı olamaz. Sonuç olarak, a+ba + b her zaman tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır.
Çelişki yöntemini tamamlayarak ifadenin her zaman doğru olduğunu ispatlamak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkileri ve rasyonel sayıların işlemlere karşı kapalılık özellikleri.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru