Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
(x2−4x)2−2(x2−4x)+k=0\left(x^2 - 4x\right)^2 - 2\left(x^2 - 4x\right) + k = 0
denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 3 elemanlı olduğuna göre, kk gerçel sayısı kaçtır?
  1. -24Cevap
  2. B
    -8
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. E
    3

Cevap

Çözüm kümesinin 3 elemanlı olmasını sağlayan k parametresinin değeri -24 olmalıdır.
Denklemde x2−4x=tx^2 - 4x = t dönüşümü yapıldığında elde edilen t2−2t+k=0t^2 - 2t + k = 0 denkleminin köklerinden biri t=−4t = -4 olmalıdır. Bu durum, x2−4x=−4⇒(x−2)2=0x^2 - 4x = -4 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 denklemini vererek x=2x = 2 şeklinde tek bir gerçel kök üretir. Yardımcı denklemin diğer kökü ise t2=6>−4t_2 = 6 > -4 olup x2−4x=6x^2 - 4x = 6 denkleminden 2 farklı gerçel kök daha getirir ve toplam kök sayısı 3 olur. Bu koşulları sağlayan değer ise -24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme yöntemi uygulanır.
x2−4x=tx^2 - 4x = t dönüşümü yap��larak verilen denklem t2−2t+k=0t^2 - 2t + k = 0 şeklinde ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme dönüştürülür.
Derecesi yüksek olan denklemi bilinen ikinci derece denklem çözüm yöntemleriyle analiz edebilmek için.
2
xx değişkenine bağlı gerçel köklerin varlık koşulu incelenir.
x2−4x−t=0x^2 - 4x - t = 0 denkleminin gerçel köklerinin olması için diskriminantının sıfırdan büyük veya eşit olması gerekir. Δx=16+4t≥0⇒t≥−4\Delta_x = 16 + 4t \geq 0 \Rightarrow t \geq -4 elde edilir. Burada, t=−4t = -4 için 1 gerçel kök (çift katlı), t>−4t > -4 için ise 2 farklı gerçel kök vardır. t<−4t < -4 durumunda ise gerçel kök yoktur.
Her bir tt köküne karşılık gelebilecek gerçel xx köklerinin sayısını belirlemek için.
3
Çözüm kümesinin 3 elemanlı olma koşulu analiz edilir.
t2−2t+k=0t^2 - 2t + k = 0 denkleminin iki farklı gerçel kökü (t1t_1 ve t2t_2) olmalı ve bu köklerden biri sınır değer olan −4-4'e eşit, diğeri ise −4-4'ten büyük olmalıdır. Böylece t1=−4t_1 = -4 kökünden 1 tane, t2>−4t_2 > -4 kökünden ise 2 tane olmak üzere toplam 3 farklı gerçel xx kökü elde edilir.
Orijinal denklemin tam olarak 3 farklı gerçel kökünün bulunması koşulunu sağlamak için.
4
t1=−4t_1 = -4 değeri denklemde yerine yazılarak kk bulunur ve diğer kök doğrulanır.
(−4)2−2(−4)+k=0⇒16+8+k=0⇒k=−24(-4)^2 - 2(-4) + k = 0 \Rightarrow 16 + 8 + k = 0 \Rightarrow k = -24 bulunur. Bu durumda yardımcı denklem t2−2t−24=0⇒(t−6)(t+4)=0t^2 - 2t - 24 = 0 \Rightarrow (t-6)(t+4) = 0 olur ve diğer kök t2=6t_2 = 6 olarak elde edilir. 6>−46 > -4 koşulu sağlandığı için k=−24k = -24 değeri doğrudur.
kk parametresinin doğru değerini bulmak ve köklerin doğruluğunu teyit etmek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemler ve köklerin varlık analizi
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri