Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir kahve dükkanında müşterilere sunulan iki farklı sadakat kartı uygulamasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Her iki kartta da yalnızca satın alınan her bir kahve için puan kazanılmakta, bedava alınan kahveler için puan kazanılmamaktadır.
* 1. Kart: Satın alınan her kahve için 44 puan kazandırmakta ve biriken her 3030 puan ile 11 bedava kahve alınabilmektedir.
* 2. Kart: Satın alınan her kahve için 33 puan kazandırmakta ve biriken her 2020 puan ile 11 bedava kahve alınabilmektedir.

Bu dükkandan belirli sayıda kahve satın alan bir müşteri, kazandığı tüm puanlarla bedava kahvelerini aldığında her iki kart seçeneğinde de hiç puanı kalmayacağını hesaplıyor.

Müşteri 1. kartı kullandığında alacağı bedava kahve sayısının, 2. kartı kullandığında alacağı bedava kahve sayısından 33 eksik olduğunu görüyor.

Buna göre, bu müşterinin satın aldığı toplam kahve sayısı kaçtır?

  1. A
    120
  2. B
    150
  3. 180Cevap
  4. D
    240
  5. E
    300

Cevap

Müşterinin satın aldığ�� toplam kahve sayısı 180'dir.
Satın alınan kahve sayısı xx olsun. 1. kart ile 4x30=2x15\frac{4x}{30} = \frac{2x}{15} adet, 2. kart ile 3x20\frac{3x}{20} adet bedava kahve alınabilir. Her iki durumda da hiç puan kalmadığı için xx sayısı hem 1515'in hem de 2020'nin katı, yani en küçük ortak katları olan 6060'ın bir katı (x=60kx = 60k) olmalıdır. Bedava kahve sayıları sırasıyla 8k8k ve 9k9k olur. Aradaki fark 9k−8k=3  ⟹  k=39k - 8k = 3 \implies k = 3 olarak bulunur. Dolayısıyla satın alınan toplam kahve sayısı 60×3=18060 \times 3 = 180 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Satın alınan kahve sayısına xx diyerek her iki kart için kazanılan toplam puanları belirlemek.
Satın alınan kahve sayısı xx olsun. 1. kart ile kazanılan toplam puan 4x4x, 2. kart ile kazanılan toplam puan 3x3x olur.
Kazanılan toplam puanlar üzerinden bedava kahve sayılarına ulaşmak amaçlanmaktadır.
2
Hiç puan kalmaması koşulunu kullanarak xx değişkeninin katı olması gereken sayıları belirlemek.
1. kart için bedava kahve sayısı 4x30=2x15\frac{4x}{30} = \frac{2x}{15} olup bu değer tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla xx, 1515 in bir katı olmalıdır. 2. kart için bedava kahve sayısı 3x20\frac{3x}{20} olup bu değer tam sayı olmalıdır. Dolayısıyla xx, 2020 nin bir katı olmalıdır. Hem 1515 hem de 2020 nin ortak katı olan en küçük sayı EKOK(15,20)=60\text{EKOK}(15, 20) = 60 olduğundan x=60kx = 60k (burada kk bir pozitif tam sayıdır) yazılabilir.
Her iki kartta da puan kalmaması, puanların bedava kahve almak için gereken puan miktarlarına tam bölünmesini gerektirir.
3
Bedava kahve sayıları arasındaki fark ilişkisini kurarak kk değerini bulmak ve toplam kahve sayısını hesaplamak.
x=60kx = 60k için:
1. kart ile alınan bedava kahve sayısı: 2⋅60k15=8k\frac{2 \cdot 60k}{15} = 8k
2. kart ile alınan bedava kahve sayısı: 3⋅60k20=9k\frac{3 \cdot 60k}{20} = 9k

2. kart ile alınan bedava kahve sayısı, 1. karttan 33 fazla olduğuna göre:
9k−8k=3  ⟹  k=39k - 8k = 3 \implies k = 3 bulunur.

Buradan toplam satın alınan kahve sayısı:
x=60⋅3=180x = 60 \cdot 3 = 180 olarak elde edilir.
Kartlardan elde edilen bedava kahve sayılarının farkı 33 olarak verildiğinden, bu denklem yardımıyla bilinmeyen kk çarpanı ve dolayısıyla toplam kahve sayısı bulunur.

Anahtar Kavram

Bilinmeyenlerin tam bölünme ve ortak kat özelliklerine (EKOK) göre modellenmesi ve birinci dereceden denklem kurularak çözülmesi.

İpuçları

1
Satın alınan kahve sayısına xx diyerek, her iki karttan kazanılan puanların bedava kahve puanlarına tam bölünmesi gerektiğini düşünün.

Daha Fazla Pratik

Benzer şekilde, iki farklı tarifeye sahip bir otoparkta kalınan süreye göre ödenen ücretlerin eşitlendiği durumları inceleyen sayı problemlerini çözebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, seçeneklerden gidilerek veya 15 ve 20'nin ortak katlarından başlanarak deneme yapılabilir. Örneğin 60 kahve satın alınmış olsaydı 1. kart ile 8, 2. kart ile 9 bedava kahve alınabilirdi ve aradaki fark 1 olurdu. Farkın 3 olması istendiğine göre satın alınan kahve sayısı 60×3=18060 \times 3 = 180 olmalıdır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru