Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
Bir AA kümesi
A={∅,1,{1},{1,2},{{1},2}}A = \{\emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\}, \{\{1\}, 2\}\}
olarak veriliyor.

Buna göre,
I. {{1},2}⊂A\{\{1\}, 2\} \subset A ve {{1},2}∈A\{\{1\}, 2\} \in A
II. AA kümesinin elemanı olup aynı zamanda AA kümesinin bir alt kümesi olan eleman sayısı 2'dir.
III. AA kümesinin alt kümelerinin 24 tanesinde, AA kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan en az bir eleman bulunur.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III ifadeleri doğrudur.
Doğru cevap II ve III ifadelerini içeren seçenektir. Boş küme (\emptyset) hem AA kümesinin bir elemanıdır hem de her kümenin alt kümesi olduğu için AA'nın bir alt kümesidir. Benzer şekilde {1}\{1\} hem AA kümesinin bir elemanıdır hem de elemanı olan 11, AA'nın elemanı olduğu için AA'nın bir alt kümesidir. Bu özellikleri sağlayan 2 eleman vardır. Bu elemanlardan en az birini içeren alt kümelerin sayısı ise tüm alt kümelerin sayısından (32), bu iki elemanı içermeyen alt kümelerin sayısının (8) çıkarılmasıyla 24 olarak bulunur. I. öncüldeki {{1},2}⊂A\{\{1\}, 2\} \subset A ifadesi ise 2∉A2 \notin A olduğu için yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirlemek.
A={∅,1,{1},{1,2},{{1},2}}A = \{\emptyset, 1, \{1\}, \{1, 2\}, \{\{1\}, 2\}\} kümesinin eleman sayısı s(A)=5s(A) = 5'tir. Elemanları sırasıyla: ∅\emptyset, 11, {1}\{1\}, {1,2}\{1, 2\} ve {{1},2}\{\{1\}, 2\}'dir.
Sembolik ilişkilerin ve alt küme sayılarının doğru analiz edilebilmesi için kümenin eleman sınırlarının net belirlenmesi gerekir.
2
I. öncüldeki ifadelerin doğruluğunu kontrol etmek.
{{1},2}∈A\{\{1\}, 2\} \in A ifadesi doğrudur çünkü bu ifade kümenin 5. elemanıdır. Ancak {{1},2}⊂A\{\{1\}, 2\} \subset A ifadesinin doğru olması için bu kümenin elemanları olan {1}\{1\} ve 22 elemanlarının AA'nın elemanı olması gerekir. {1}∈A\{1\} \in A olmasına rağmen 2∉A2 \notin A olduğundan {{1},2}⊄A\{\{1\}, 2\} \not\subset A olur. Bu yüzden I. öncül yanlıştır.
Bir kümenin alt küme olabilmesi için tüm elemanlarının üst kümenin de elemanı olması kuralını uygulamak.
3
II. öncüldeki hem eleman hem de alt küme olan eleman sayısını belirlemek.
x∈Ax \in A iken x⊂Ax \subset A şartını sağlayan xx elemanlarını inceleyelim:
- x=∅x = \emptyset: ∅∈A\emptyset \in A ve boş küme her kümenin alt kümesi olduğundan ∅⊂A\emptyset \subset A doğrudur.
- x=1x = 1: 1∈A1 \in A ancak 11 bir küme olmadığından alt küme belirtmez.
- x={1}x = \{1\}: {1}∈A\{1\} \in A ve elemanı olan 1∈A1 \in A olduğundan {1}⊂A\{1\} \subset A doğrudur.
- x={1,2}x = \{1, 2\}: {1,2}∈A\{1, 2\} \in A ancak 2∉A2 \notin A olduğundan {1,2}⊄A\{1, 2\} \not\subset A'dır.
- x={{1},2}x = \{\{1\}, 2\}: {{1},2}∈A\{\{1\}, 2\} \in A ancak 2∉A2 \notin A olduğundan {{1},2}⊄A\{\{1\}, 2\} \not\subset A'dır.
Bu durumda şartı sağlayan elemanlar sadece ∅\emptyset ve {1}\{1\} olup sayıları 2'dir. II. öncül doğrudur.
Kümelerdeki her bir elemanın ayrı ayrı eleman ve alt küme olma durumunu tanımlara göre kontrol etmek.
4
III. öncüldeki en az bir ortak eleman barındıran alt küme sayısını hesaplamak.
İstenen elemanlar kümesi S={∅,{1}}S = \{\emptyset, \{1\}\} olsun. AA kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı 25=322^5 = 32'dir. Bu iki elemanın hiçbirini içermeyen alt kümeler, geriye kalan A∖S={1,{1,2},{{1},2}}A \setminus S = \{1, \{1, 2\}, \{\{1\}, 2\}\} kümesinin elemanları ile oluşturulur ve sayısı 23=82^3 = 8'dir. Dolayısıyla en az birini içeren alt küme sayısı 32−8=2432 - 8 = 24 olur. III. öncül doğrudur.
Tüm durumlardan istenmeyen durumları çıkararak (tümleyen yöntemiyle) sonuca daha hızlı ulaşmak.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanı olma (\in) ile alt kümesi olma (\subset) arasındaki sembolik ve mantıksal farklar, boş kümenin özellikleri ve alt küme sayısı hesaplama.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru