Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri

aa, bb ve cc sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,
* a⋅ba \cdot b rasyonel sayıdır.
* b⋅cb \cdot c irrasyonel sayıdır.
* a+ca + c rasyonel sayıdır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre;
I. aa ve cc irrasyonel sayılardır.
II. a2−c2a^2 - c^2 irrasyonel sayıdır.
III. b−cb - c irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yaln��z II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

a ve c sayılarının her ikisi de irrasyonel olup, a^2 - c^2 farkı da kesinlikle irrasyoneldir. b - c farkı ise rasyonel bir sayıya eşit olabilir.
Verilen koşullara göre a ve c sayılarının her ikisi de irrasyonel olmak zorundadır. a + c toplamı sıfırdan farklı bir rasyonel sayı olduğundan ve a - c farkı irrasyonel olduğundan, bu iki ifadenin çarpımı olan a^2 - c^2 de kesinlikle irrasyoneldir. b - c farkı ise rasyonel bir değer alabilmektedir.

Adım Adım Çözüm

1
a sayısının rasyonel olduğu varsayılarak çelişki yöntemi uygulanır.
a rasyonel ise, a * b rasyonel olduğundan b de rasyonel olmalıdır. b rasyonel ise, b * c irrasyonel olduğundan c irrasyonel olmalıdır. Ancak a + c rasyonel verildiğinden, rasyonel a ile irrasyonel c'nin toplamı rasyonel olamaz; çelişki elde edilir.
a'nın rasyonel olamayacağını göstererek irrasyonel olduğunu ispatlamak için.
2
a sayısı irrasyonel bulunduktan sonra c sayısının kümesi belirlenir.
a irrasyonel bir sayı ve a + c rasyonel olduğundan, c = (a + c) - a ifadesi rasyonel bir sayıdan irrasyonel bir sayının çıkarılmasıyla elde edilir. Dolayısıyla c de kesinlikle irrasyoneldir. (I. öncül kesinlikle doğrudur).
a ve c sayılarının irrasyonel olma durumunu netleştirmek için.
3
a^2 - c^2 ifadesi iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayrılarak analiz edilir.
a^2 - c^2 = (a - c)(a + c) olur. a + c rasyonel sayıdır ve sıfıra eşit olamaz (eğer a + c = 0 olsaydı c = -a olurdu, bu durumda b * c = - (a * b) rasyonel olurdu, oysa b * c irrasyoneldir). a - c ise irrasyoneldir. Sıfırdan farklı bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı kesinlikle irrasyoneldir. (II. öncül kesinlikle doğrudur).
Çarpımın rasyonel/irrasyonel olma kurallarını uygulamak için.
4
b - c farkının irrasyonel olmak zorunda olup olmadığı karşıt örnekle test edilir.
a = sqrt(2), b = -sqrt(2) ve c = 1 - sqrt(2) seçilirse; a * b = -2 (rasyonel), b * c = 2 - sqrt(2) (irrasyonel), a + c = 1 (rasyonel) şartları sağlanır. Ancak b - c = -sqrt(2) - (1 - sqrt(2)) = -1 (rasyonel) elde edilir. (III. öncül kesinlikle doğru değildir).
Önermeyi çürütecek uygun bir karşıt örnek bulmak için.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinde kapalılık özellikleri ve dört işlem sonuçlarının analizi.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru