Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir belediye, su faturalandırılmasında abonelerine iki farklı tarife seçeneği sunmaktadır.

* A Tarifesi: Aylık sabit ücret 8080 TL olup, tüketilen her metreküp su için 1212 TL alınmaktadır.
* B Tarifesi: Aylık sabit ücret alınmamakta; ancak tüketilen ilk 1010 metreküp suyun her metreküpü için 1515 TL, 1010 metreküpü aşan kısmın her metreküpü için ise 2020 TL alınmaktadır.

Bir ayda Ahmet A tarifesini, Barış ise B tarifesini kullanmış ve her ikisinin de su tüketim miktarları metreküp cinsinden birer tam sayı olmuştur.

Bu ayda Ahmet ve Barış'ın su tüketim miktarları toplamı 3232 metreküp olup Barış'ın ödediği fatura tutarı Ahmet'in ödediği fatura tutarından daha fazladır.

Buna göre, Ahmet'in bu ayki su tüketimi en fazla kaç metreküptür?

  1. A
    1313
  2. B
    1414
  3. 1515Cevap
  4. D
    1616
  5. E
    1717

Cevap

Ahmet'in bu ayki su tüketimi en fazla 15 metreküptür.
Ahmet'in su tüketim miktarı aa ve Barış'ın su tüketim miktarı bb olarak seçildiğinde, toplam tüketim 3232 m³ olduğundan b=32−ab = 32 - a yazılır. Barış'ın tüketiminin 1010 m³'ten fazla olduğu belirlendikten sonra fatura tutarları arasındaki ilişki modellenerek 20(32−a)−50>80+12a20(32 - a) - 50 > 80 + 12a eşitsizliği elde edilir. Bu eşitsizlik çözüldüğünde a<15.9375a < 15.9375 bulunur. Tüketim miktarı tam sayı olduğundan Ahmet'in tüketimi en fazla 15 metreküp olabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet'in su tüketim miktarını aa ve Barış'ın su tüketim miktarını bb olarak tanımlayalım.
a+b=32  ⟹  b=32−aa + b = 32 \implies b = 32 - a olur.
Toplam tüketim miktarının 32 metreküp olduğu belirtilmiştir.
2
Tarifelere göre fatura tutarlarını hesaplayan fonksiyonları yazalım.
Ahmet'in faturası: FA(a)=80+12aF_A(a) = 80 + 12a olur. Barış için, eğer tüketimi b≤10b \leq 10 olsaydı faturası en fazla 150150 TL olurdu; bu durumda Ahmet'in tüketimi a≥22a \geq 22 olup Ahmet'in faturası en az 344344 TL çıkardı ve Barış'ın faturası Ahmet'inkinden fazla olamazdı. Bu sebeple Barış'ın tüketimi b>10b > 10 olmalıdır. Buradan Barış'ın faturası: FB(b)=10×15+(b−10)×20=20b−50F_B(b) = 10 \times 15 + (b - 10) \times 20 = 20b - 50 olarak bulunur.
Fatura tarifelerindeki sabit ücret ve kademeli fiyatlandırma kuralları uygulanmıştır.
3
Barış'ın faturasının Ahmet'in faturasından fazla olması koşulunu (FB(b)>FA(a)F_B(b) > F_A(a)) eşitsizlik olarak kurup b=32−ab = 32 - a ifadesini yerine yazarak çözelim.
20(32−a)−50>80+12a  ⟹  640−20a−50>80+12a  ⟹  590−20a>80+12a  ⟹  510>32a  ⟹  a<51032≈15.937520(32 - a) - 50 > 80 + 12a \implies 640 - 20a - 50 > 80 + 12a \implies 590 - 20a > 80 + 12a \implies 510 > 32a \implies a < \frac{510}{32} \approx 15.9375 elde edilir.
Soruda verilen faturanın fazla olması koşulu eşitsizlik biçiminde modellenmiştir.
4
Elde edilen eşitsizliği sağlayan en büyük tüketim tam sayı değerini belirleyelim.
aa bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, a<15.9375a < 15.9375 eşitsizliğini sağlayan en büyük tam sayı değeri 1515 olur.
Tüketim miktarları metreküp cinsinden birer tam sayı olarak tanımlanmıştır.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru