Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
Bir AA kümesi
A={1,{1},{2},{1,2},∅}A = \{ 1, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \emptyset \}
olarak veriliyor.
AA kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi, AA kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan en az bir elemana sahiptir?
  1. A
    8
  2. B
    16
  3. 24Cevap
  4. D
    28
  5. E
    30

Cevap

Hem eleman hem de alt küme olan elemanlardan en az birini içeren alt kümelerin sayısı 24'tür.
A kümesinin elemanları arasından hem A'nın elemanı hem de A'nın alt kümesi olan elemanlar {1} ve boş kümedir. Toplam 32 alt kümeden, bu iki elemanı içermeyen 8 alt küme çıkarıldığında geriye kalan 24 alt kümede bu elemanlardan en az biri bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin tüm elemanlarını listeleyelim ve eleman sayısını bulalım.
A kümesinin elemanları 1, {1}, {2}, {1, 2} ve boş kümedir. Eleman sayısı 5'tir.
Alt küme hesaplamaları ve eleman kontrolleri için kümenin eleman yapısını tam olarak belirlememiz gerekir.
2
A kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan elemanları bulalım.
Bu koşulu sağlayan elemanlar {1} ve boş kümedir.
Bir x elemanının A'nın alt kümesi olması için x'in içindeki tüm elemanların A'ya ait olması gerekir. 1 sayısı A'nın elemanı olduğundan {1} alt kümedir. Boş küme de her kümenin alt kümesidir. Ancak 2 sayısı A'nın elemanı olmadığından {2} ve {1, 2} alt küme olamaz.
3
Koşulu sağlayan elemanlardan en az birini içeren alt kümelerin sayısını bulmak için tüm durumlardan bu elemanları içermeyen durumları çıkaralım.
Toplam alt küme sayısı 2^5 = 32'dir. Koşulu sağlayan {1} ve boş küme elemanlarını içermeyen alt kümelerin sayısı, kalan 3 eleman ile oluşturulan 2^3 = 8 alt kümedir. Buradan istenen durum sayısı 32 - 8 = 24 olarak bulunur.
En az bir elemanın bulunması istendiğinde, tüm durumlardan istenmeyen (hiç bulunmama) durumların çıkarılması en pratik yoldur.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanı olma ile alt kümesi olma arasındaki farklar ve boş küme özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru