Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBasamak Analizi ve Çözümleme
Üç basamaklı ABCABC ve BCABCA doğal sayıları için,
ABC−BCA=378ABC - BCA = 378
eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre, bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC doğal sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevap: 21

Cevap

Bu koşulu sağlayan en büyük ABCABC sayısı 957 olup, rakamları toplamı 21'dir.
Verilen denklem çözümlenip sadeleştirildiğinde 11A−C=10B+4211A - C = 10B + 42 eşitliğine ulaşılır. En büyük ABCABC sayısını oluşturabilmek için en büyük yüzler basamağı rakamı olan A=9A=9 seçilir. Buradan 99−C=10B+42  ⟹  57−C=10B99 - C = 10B + 42 \implies 57 - C = 10B bulunur. CC bir rakam olduğundan bu eşitliği sağlayan tek değer C=7C=7 ve B=5B=5 olur. Böylece elde edilen en büyük ABCABC sayısı 957'dir. Bu sayının rakamları toplamı ise 9+5+7=219 + 5 + 7 = 21 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
ABCABC ve BCABCA sayılarını basamak çözümlemesi yöntemiyle açın.
ABC=100A+10B+CABC = 100A + 10B + C ve BCA=100B+10C+ABCA = 100B + 10C + A
Sayı basamakları arasındaki cebirsel ilişkiyi kurabilmek için çözümleme yapılması gerekir.
2
Çözümlenmiş ifadeleri ABC−BCA=378ABC - BCA = 378 denkleminde yerine yazıp sadeleştirin.
99A−90B−9C=378  ⟹  11A−10B−C=4299A - 90B - 9C = 378 \implies 11A - 10B - C = 42
Denklemi 9 ile bölerek daha sade ve analiz edilmesi kolay bir eşitlik elde etmek için.
3
Elde edilen 11A−C=10B+4211A - C = 10B + 42 denklemini sağlayan A,B,CA, B, C rakam değerlerini bulun.
BB değeri 1'den 5'e kadar değer alabilir. En büyük ABCABC sayısını bulmak için en büyük yüzler basamağı olan A=9A=9 değeri seçildiğinde B=5B=5 ve C=7C=7 olur.
BCABCA üç basamaklı sayı olduğu için BB sıfır olamaz. En büyük ABCABC sayısını bulmak amacıyla yüzler basamağındaki AA rakamını en büyük seçmeye çalışırız.
4
En büyük ABCABC sayısı olan 957 sayısının rakamları toplamını hesaplayın.
9+5+7=219 + 5 + 7 = 21
Soruda en büyük sayının rakamları toplamı istendiği için.

Anahtar Kavram

Üç basamaklı sayıların basamak analizi ve çözümlenerek kısıtlı değişkenlere göre değer analizi yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru