Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri

aa ve bb birer irrasyonel sayı olmak üzere,
* a+ba + b toplamı bir rasyonel sayıdır.
* a⋅ba \cdot b çarpımı bir irrasyonel sayıdır.
bilgileri veriliyor.

Buna göre,
I. a−ba - b
II. a2−b2a^2 - b^2
III. a2+b2a^2 + b^2

ifadelerinden hangileri her zaman bir irrasyonel sayıdır?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Birinci ve üçüncü ifadeler her zaman bir irrasyonel sayıdır.
Verilen koşullara göre, birinci ifade (a−ba - b) ve üçüncü ifade (a2+b2a^2 + b^2) her zaman irrasyonel sayı belirtmek zorundadır. Bu durum rasyonel sayıların işlemsel kapalılık özellikleri kullanılarak çelişki yöntemiyle kanıtlanabilir.

Adım Adım Çözüm

1
a−ba - b ifadesinin her zaman irrasyonel olduğunu çelişki yöntemiyle ispatlamak.
a−b=qa - b = q olacak şekilde bir qq rasyonel sayısı olduğunu varsayalım. Bize verilen a+b=ra + b = r rasyonel sayısı ile bu ifadeyi taraf tarafa toplarsak: (a−b)+(a+b)=q+r⇒2a=q+r⇒a=q+r2(a - b) + (a + b) = q + r \Rightarrow 2a = q + r \Rightarrow a = \frac{q + r}{2} elde edilir. Rasyonel sayılar kümesi toplama ve bölme işlemleri altında kapalı olduğundan aa sayısı rasyonel olmalıdır. Bu durum aa'nın irrasyonel bir sayı olmasıyla çelişir. Dolayısıyla, a−ba - b her zaman irrasyoneldir.
İki sayının farkının karakterini belirlemek amacıyla, verilen toplam değerinin rasyonel olmasından yararlanarak çelişki yöntemi kurmak.
2
a2−b2a^2 - b^2 ifadesinin her zaman irrasyonel olup olmadığını bir karşıt örnek ile incelemek.
a=24a = \sqrt[4]{2} ve b=−24b = -\sqrt[4]{2} irrasyonel sayılarını seçelim. Bu durumda a+b=0a + b = 0 (rasyonel) ve a⋅b=−2a \cdot b = -\sqrt{2} (irrasyonel) koşulları sağlanır. Ancak bu değerler için a2−b2=2−2=0a^2 - b^2 = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 bulunur. 00 sayısı bir rasyonel sayı olduğundan, a2−b2a^2 - b^2 her zaman irrasyonel olmak zorunda değildir.
Bir önermenin genel geçerliliğini test etmek için koşulları sağlayan fakat sonucu rasyonel yapan bir uç durum (karşıt örnek) araştırmak.
3
a2+b2a^2 + b^2 ifadesinin her zaman irrasyonel olduğunu özdeşlikler yardımıyla çelişki yöntemiyle ispatlamak.
a2+b2=ka^2 + b^2 = k olacak şekilde bir kk rasyonel sayısı olduğunu varsayalım. Tam kare özdeşliğini kullanarak a2+b2=(a+b)2−2aba^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab yazabiliriz. a+b=ra + b = r rasyonel sayısı yerine yazılırsa: k=r2−2ab⇒2ab=r2−k⇒ab=r2−k2k = r^2 - 2ab \Rightarrow 2ab = r^2 - k \Rightarrow ab = \frac{r^2 - k}{2} elde edilir. rr ve kk rasyonel olduğundan, r2−k2\frac{r^2 - k}{2} ifadesi de rasyonel olmalıdır. Bu durum, a⋅ba \cdot b çarpımının irrasyonel olmasıyla çelişir. Dolayısıyla, a2+b2a^2 + b^2 her zaman irrasyoneldir.
Kareler toplamını, rasyonellik özellikleri bilinen toplam ve çarpım terimleri cinsinden ifade ederek tutarlılığını sorgulamak.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinde cebirsel işlemlerin kapalılığı ve çelişki yöntemi ile analiz
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru