Examkin

Soru

Zorluk: ZorKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
Bir AA kümesi
A={1,{2},{1,2},∅}A = \{ 1, \{2\}, \{1, 2\}, \emptyset \}
olarak veriliyor.
Buna göre,
I. {1,2}⊂A\{1, 2\} \subset A ve {1,2}∈A\{1, 2\} \in A
II. {{2}}⊂A\{\{2\}\} \subset A ve {2}∈A\{2\} \in A
III. {∅}⊂A\{\emptyset\} \subset A ve ∅∈A\emptyset \in A
ifadelerinden hangileri doğrudur?
  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III
İkinci ve üçüncü öncüllerdeki hem eleman olma hem de alt küme olma ilişkileri doğrudur. Kümenin içinde '{2}' ve 'boş küme' sembolleri birer eleman olarak yer alır. Bu elemanlar parantezlendiğinde ise '{{2}}' ve '{boş küme}' şeklinde alt kümeler elde edilir. Dolayısıyla 'II ve III' seçeneği doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
A kümesinin elemanlarını listeleme
A kümesinin elemanları sırasıyla 1, {2}, {1, 2} ve boş küme (\emptyset) olmak üzere 4 tanedir.
Öncüllerdeki eleman ve alt küme ilişkilerini doğrulamak için öncelikle kümenin eleman listesini netleştirmeliyiz.
2
Birinci öncülü inceleme
{1, 2} \in A ifadesi doğrudur çünkü {1, 2} kümenin bir elemanıdır. Ancak {1, 2} \subset A ifadesi yanlıştır; çünkü bu alt kümenin elemanları olan 1 ve 2 değerlerinin her ikisinin de A kümesinin elemanı olması gerekir. 1 \in A olmasına rağmen 2
otin A (sadece {2} elemanı vardır) olduğundan bu alt küme ilişkisi kurulamaz. Dolayısıyla birinci öncül yanlıştır.
Bir kümenin alt küme olabilmesi için içindeki tüm elemanların ana kümede de bulunması gerekir.
3
İkinci öncülü inceleme
{2} \in A ifadesi doğrudur çünkü {2} kümenin doğrudan bir elemanıdır. {{2}} \subset A ifadesi de doğrudur çünkü A kümesinin elemanı olan {2} ifadesi süslü paranteze alınarak bir alt küme oluşturulmuştur. Dolayısıyla ikinci öncül doğrudur.
Bir kümenin herhangi bir elemanı süslü parantez içine yazıldığında o kümenin bir alt kümesi elde edilir.
4
Üçüncü öncülü inceleme
\emptyset \in A ifadesi doğrudur çünkü boş küme sembolü kümenin bir elemanı olarak listede yer almaktadır. {\emptyset} \subset A ifadesi de doğrudur çünkü A kümesinin elemanı olan \emptyset nesnesi süslü parantez içine alınarak bir alt küme oluşturulmuştur. Dolayısıyla üçüncü öncül doğrudur.
Kümede eleman olarak bulunan boş küme nesnesi parantezlenerek alt küme haline getirilmiştir.

Anahtar Kavram

Kümelerde eleman olma (\in) ve alt küme olma (\subset) kavramları arasındaki farklar
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru