Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir yazılım şirketi, geliştirdiği bir programın lisanslarını gruplar halinde satmaktadır. Satış tarifesi aşağıdaki tabloda gösterilmiştir:

Satın Alınan Lisans Sayısı (kk)Lisans Başına Birim Ücret (TL)
k≤20k \le 20120120
k>20k > 20En az 6060 TL olmak üzere, 2020'yi aşan her bir lisans için birim fiyattan 11 TL indirim yapılır.

Bu yazılımı satın alan iki farklı şirketin her birinin aldığı lisans sayısı 2020'den fazladır. Bu şirketlerden daha az lisans satın alanın lisans sayısı 4040'tan azdır.

Şirketlerden birinin satın aldığı lisans sayısı, diğerinin satın aldığı lisans sayısının 22 katıdır.

Daha fazla lisans satın alan şirketin ödediği toplam tutar, diğer şirketin ödediği toplam tutardan 15001500 TL fazla olduğuna göre, bu iki şirketin satın aldığı toplam lisans sayısı kaçtır?

  1. A
    75
  2. B
    80
  3. 90Cevap
  4. D
    120
  5. E
    150

Cevap

Toplam lisans sayısı 90 adettir.
Doğru cevap, iki şirketin satın aldığı lisans sayılarının sırasıyla 30 ve 60 olduğu durumdur. Bu durumda birinci şirket 30 lisans için birim başına 110 TL ödeyerek toplam 3300 TL, ikinci şirket ise 60 lisans için birim başına 80 TL ödeyerek toplam 4800 TL öder. Ödenen tutarlar arasındaki fark 1500 TL olup tüm koşullar sağlanmaktadır. Toplam lisans sayısı 30 + 60 = 90 adet olur.

Adım Adım Çözüm

1
Şirketlerin satın aldığı lisans sayılarını değişkenlerle ifade etme.
Daha az lisans alan şirketin lisans sayısı xx ise diğer şirketin lisans sayısı 2x2x olur. Koşullar: x>20x > 20 ve x<40x < 40 olarak belirlenir.
Problemdeki oran ve sınır koşullarını matematiksel modele aktarmak.
2
Lisans sayılarına göre birim fiyat fonksiyonunu oluşturma.
k>20k > 20 için birim fiyat P(k)=120−(k−20)=140−kP(k) = 120 - (k - 20) = 140 - k TL olur. x<40x < 40 olduğundan 2x<802x < 80 olur ve birim fiyat 60 TL alt sınırına takılmaz.
Her iki şirketin ödeyeceği birim fiyatları lisans sayıları cinsinden bulmak.
3
Şirketlerin ödediği toplam tutarları ve aralarındaki farkı veren denklemi kurma.
Birinci şirketin ödediği tutar: C1=x(140−x)=140x−x2C_1 = x(140 - x) = 140x - x^2 TL. İkinci şirketin ödediği tutar: C2=2x(140−2x)=280x−4x2C_2 = 2x(140 - 2x) = 280x - 4x^2 TL. Fark denklemi: (280x−4x2)−(140x−x2)=1500  ⟹  3x2−140x+1500=0(280x - 4x^2) - (140x - x^2) = 1500 \implies 3x^2 - 140x + 1500 = 0 elde edilir.
Ödenen toplam tutarlar arasındaki fark ilişkisini kullanarak bilinmeyen xx değerini bulmak.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklemi çözme ve koşulları sağlayan kökü bulma.
Diskriminant Δ=(−140)2−4⋅3⋅1500=19600−18000=1600=402\Delta = (-140)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1500 = 19600 - 18000 = 1600 = 40^2. Kökler x=140±406x = \frac{140 \pm 40}{6} formülünden x=30x = 30 veya x=1006x = \frac{100}{6} bulunur. Lisans sayısı tam sayı olacağından x=30x = 30 seçilir.
Şirketlerin satın aldığı gerçek lisans sayılarını tespit etmek.
5
Şirketlerin satın aldığı toplam lisans sayısını hesaplama.
x+2x=30+60=90x + 2x = 30 + 60 = 90 bulunur.
Soruda istenen toplam lisans sayısına ulaşmak.

Anahtar Kavram

İkinci Dereceden Denklemlere Dönüştürülebilen Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru