Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPolinomlarda Dört İşlem

Eni (2x+5)(2x + 5) birim ve boyu (3x−1)(3x - 1) birim olan dikdörtgen şeklindeki bir kartonun dört köşesinden, bir kenar uzunluğu (x−1)(x - 1) birim olan kare şeklinde dört eş parça kesilip çıkarılıyor. Buna göre, geriye kalan kartonun alanını veren P(x)P(x) polinomunun xx'li teriminin katsayısı kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    9
  3. C
    13
  4. D
    15
  5. 21Cevap

Cevap

Geriye kalan kartonun alanını veren polinomun x'li teriminin katsayısı 21'dir.
Başlangıçtaki alan (6x2+13x−5)(6x^2 + 13x - 5) birimkaredir. Köşelerden çıkarılan 4 karenin toplam alanı ise 4(x2−2x+1)=4x2−8x+44(x^2 - 2x + 1) = 4x^2 - 8x + 4 birimkaredir. Kalan alan bu iki ifadenin farkı olan P(x)=2x2+21x−9P(x) = 2x^2 + 21x - 9 polinomudur. Bu polinomda xx'li terimin katsayısı 21 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Başlangıçtaki kartonun alanını veren polinom ifadesini bulalım.
(2x+5)(3x−1)=6x2−2x+15x−5=6x2+13x−5(2x + 5)(3x - 1) = 6x^2 - 2x + 15x - 5 = 6x^2 + 13x - 5
Dikdörtgen kartonun eni ile boyunun çarpımı başlangıçtaki toplam alanı verir.
2
Kesilip çıkarılan dört adet eş karenin toplam alanını hesaplayalım.
4⋅(x−1)2=4(x2−2x+1)=4x2−8x+44 \cdot (x - 1)^2 = 4(x^2 - 2x + 1) = 4x^2 - 8x + 4
Her bir köşeden bir kenarı (x−1)(x - 1) olan kare çıkarıldığı için, bir karenin alanı (x−1)2(x-1)^2 ifadesinin 4 katı alınır.
3
Kalan kartonun alanını veren P(x)P(x) polinomunu elde etmek için çıkarma işlemini yapalım.
P(x)=(6x2+13x−5)−(4x2−8x+4)=2x2+21x−9P(x) = (6x^2 + 13x - 5) - (4x^2 - 8x + 4) = 2x^2 + 21x - 9
Başlangıçtaki toplam alandan çıkarılan parçaların toplam alanını eksilterek geriye kalan alanı buluruz.
4
Elde edilen P(x)P(x) polinomundaki xx'li terimin katsayısını belirleyelim.
Katsayı 21'dir.
P(x)=2x2+21x−9P(x) = 2x^2 + 21x - 9 polinomunda xx değişkeninin önündeki katsayı doğrudan okunur.

Anahtar Kavram

Polinomlarda çarpma ve çıkarma işlemleri ile tam kare özdeşliğinin doğru şekilde uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Dört İşlem

Bu konudan daha fazla soru