Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bir P(x)P(x) polinomunun x2−xx^2 - x ile bölümünden kalan 3x+23x + 2'dir.

Buna göre, P2(x)P^2(x) polinomunun x2−xx^2 - x ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    9x2+12x+49x^2 + 12x + 4
  2. B
    9x+49x + 4
  3. 21x+421x + 4Cevap
  4. D
    3x+43x + 4
  5. E
    15x+415x + 4

Cevap

21x+421x + 4 polinomudur.
Doğru cevap olan 21x+421x + 4 polinomu, P(x)=(x2−x)Q(x)+3x+2P(x) = (x^2-x)Q(x) + 3x+2 özdeşliğinden yola çıkılarak P2(x)P^2(x)'in x2−xx^2-x ile bölümünden kalanın (3x+2)2=9x2+12x+4(3x+2)^2 = 9x^2+12x+4 ifadesinin x2−xx^2-x ile bölümünden kalana eşit olmasından bulunur. Bu bölme işleminde x2x^2 yerine xx yazıldığında 9x+12x+4=21x+49x + 12x + 4 = 21x + 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x)P(x) polinomunun x2−xx^2 - x ile bölümünü veren bölme özdeşliğini yazmak.
P(x)=(x2−x)⋅Q(x)+3x+2P(x) = (x^2 - x) \cdot Q(x) + 3x + 2
Polinomun bölme işleminin temel kuralını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
P2(x)P^2(x) ifadesinin karesini alarak x2−xx^2 - x ile bölümünden kalanı belirlemek.
P2(x)P^2(x) ifadesinin x2−xx^2 - x ile bölümünden kalan, (3x+2)2(3x+2)^2 ifadesinin x2−xx^2 - x ile bölümünden kalana eşittir.
(x2−x)(x^2 - x) içeren terimler x2−xx^2 - x ile tam bölündüğünden sadece kalan kısmının karesini incelemek yeterlidir.
3
(3x+2)2(3x+2)^2 tam kare ifadesini açmak.
9x2+12x+49x^2 + 12x + 4
Kalanı derecesine göre bölmeye hazır hale getirmek için.
4
9x2+12x+49x^2 + 12x + 4 ifadesini x2−xx^2 - x polinomuna bölmek için x2x^2 yerine xx yazmak.
9(x)+12x+4=21x+49(x) + 12x + 4 = 21x + 4
x2−x=0  ⟹  x2=xx^2 - x = 0 \implies x^2 = x dönüşümüyle kalanın derecesini bölenin derecesinden küçük hale getirmek.

Anahtar Kavram

Bir polinomun karesinin veya herhangi bir kuvvetinin bir polinoma bölümünden kalanını bulmak için, kalan polinomunun aynı kuvveti alınır ve bölen polinoma bölünür.
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bu konudan daha fazla soru